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如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，-九年级数学
[db:作者]  2019-12-17 00:00:00  零零社区

题文

如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）（1，0） 
点P运动速度每秒钟1个单位长度．
（2） 过B点作BF⊥y轴于F点，BE⊥x轴于E点，则BF=8，OF=BE=4．
∴AF=6． 在Rt△AFB中， 
过C点作CG⊥x轴于G点，与FB的延长线交于点H．
∵
∴△ABF≌△BCH．
∴．
∴．
∴所求C点的坐标为（14，12）．
（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，则△APM∽△ABF．
∴． ．
∴．
∴．设△OPQ的面积为S（平方单位）
∴（0≤t≤10） 
∵<0
∴当时， △OPQ的面积最大． 
此时P的坐标为（） ．
（4） 当 或 时， OP与PQ相等．

据专家权威分析，试题“如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的最大值和最小值，全等三角形的性质，三角形全等的判定，用坐标表示位置  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的最大值和最小值全等三角形的性质三角形全等的判定用坐标表示位置

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式：
    最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
    （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
    （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
    （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
    （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

    二次函数的应用：
    （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
    理解题意；
    建立数学模型；
    解决题目提出的问题。
    （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
    即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式：
    ①一般式：
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式：
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
    解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
    注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况：
    当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
    当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
    当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

    ③交点式：
    y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .
    已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

    由一般式变为交点式的步骤：
    二次函数
    ∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),
    ∴y=ax2+bx+c
    =a(x2+b/ax+c/a)
    =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
    =a(x-x1)(x-x2).
    重要概念：
    a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
    a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数的其他表达形式：
    ①牛顿插值公式:
    f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    双根式
    y=a(x-x1)*(x-x2)
    若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

    ③三点式
    已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）
    则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
    与X轴交点的情况
    当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
    当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
    Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
    X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

  • 二次函数解释式的求法：
    就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

    1.巧取交点式法：
    知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
    已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
    ①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
    例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
    点拨：
    解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
    ∵过点（2，8），
    ∴8＝a(2+2)(2-1)。
    解得a=2，
    ∴抛物线的解析式为：
    y＝2(x+2)(x-1)，
    即y＝2x2+2x-4。

    ②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
    例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
    点拨：
    在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

    2.巧用顶点式：
    顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
    ①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
    例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
    点拨：
    解∵顶点坐标为（-1，-2），
    故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。
    把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。
    ∴a=3。
    ∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

    ②典型例题二：
    如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；
    如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。
    告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
    例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
    点拨：
    析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
    由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
    ∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
    故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。
    将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．
    ∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。
    ③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
    例如：
    （1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
    （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
    （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
    （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

    ④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
    例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
    点拨：
    解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
    ∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
    ∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

考点名称：二次函数的最大值和最小值

  • 二次函数的最值：
    1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；
    当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。
    也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
    2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时 。

考点名称：全等三角形的性质

  • 全等三角形：
    两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
    全等三角形的对应边相等，对应角相等。
    ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
    ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
    ③有公共边的，公共边一定是对应边;
    ④有公共角的，角一定是对应角;
    ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

  • 全等三角形的性质：
    1.全等三角形的对应角相等。
    2.全等三角形的对应边相等。
    3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
    4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
    5.全等三角形的对应边上的中线相等。
    6.全等三角形面积相等。
    7.全等三角形周长相等。
    8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

  •  

考点名称：三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理：
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

  • 三角形全等的判定公理及推论：
    (1)“边角边”简称“SAS”
    (2)“角边角”简称“ASA”
    (3)“边边边”简称“SSS”
    (4)“角角边”简称“AAS”
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

    要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
    以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
    ①S.S.S. (边、边、边)：
    各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ②S.A.S. (边、角、边)：
    各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ③A.S.A. (角、边、角)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ④A.A.S. (角、角、边)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：
    各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
    ⑥A.A.A. (角、角、角)：
    各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
    ⑦A.S.S. (角、边、边)：
    各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。
    但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

  • 解题技巧：
    一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
    因此我们可以来采取逆思维的方式。
    来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
    然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
    有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
    分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。

考点名称：用坐标表示位置

  • 点的坐标的概念：
    点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
    平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

  • 各象限内点的坐标的特征 ：
    点P(x，y)在第一象限；点P(x，y)在第二象限
    点P(x，y)在第三象限；点P(x，y)在第四象限

    坐标轴上的点的特征：
    点P(x，y)在x轴上y=0，x为任意实数
    点P(x，y)在y轴上x=0，y为任意实数
    点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）。

    点P(x，y)到坐标轴及原点的距离：
    （1）点P(x，y)到x轴的距离等于|y|；
    （2）点P(x，y)到y轴的距离等于|x|；
    （3）点P(x，y)到原点的距离等于。

  • 坐标表示位置步骤：
    利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的平面图的过程如下:
    (1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定X轴、y轴的正方向;
    (2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
    (3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
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十二星座