题文
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac。 |
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(1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标; (3)根据(2)小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系? |
题型:解答题 难度:偏难
答案
解:(1)由抛物线过B(0,1) 得c=1, 又b=-4ac,顶点A(-,0), ∴-==2c=2,∴A(2,0), 将A点坐标代入抛物线解析式,得4a+2b+1=0, ∴, 解得:a=,b=-1, 所以,抛物线的解析式为y=x2-x+1。 |
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(2)假设符合题意的点C存在,其坐标为C(x,y), 作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC, ∵A在以BC为直径的圆上, ∴∠BAC=90°, ∴△AOB∽△CDA, ∴OB·CD=OA·AD, 即1·y=2(x-2), ∴y=2x-4, 由, 解得:x1=10,x2=2, ∴符合题意的点C存在,且坐标为(10,16)或(2,0), ∵P为圆心,∴P为BC的中点, 当点C坐标为 (10,16)时,取OD中点P1,连结PP1, 则PP1为梯形OBCD中位线, ∴PP1=(OB+CD)=, ∵D (10,0),∴P1 (5,0),∴P (5,); 当点C坐标为 (2,0)时, 取OA中点P2,连结PP2, 则PP2为△OAB的中位线, ∴PP2=OB=, ∵A(2,0),∴P2(1,0),∴P(1,), 故点P的坐标为(5,)或(1,)。 |
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(3)设B、P、C三点的坐标为B(x1,y1),P(x2,y2),C(x3,y3), 由(2)可知:。 |
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据专家权威分析,试题“已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且..”主要考查你对 求二次函数的解析式及二次函数的应用,相似三角形的性质 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
求二次函数的解析式及二次函数的应用相似三角形的性质
考点名称:求二次函数的解析式及二次函数的应用 考点名称:相似三角形的性质
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