已知：抛物线经过坐标原点。（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；（3）过点A作AC∥BP交-九年级数学打印页面

首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 求二次函数的解析式及二次函数的应用 > 正文

已知：抛物线经过坐标原点。（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；（3）过点A作AC∥BP交-九年级数学

[db:作者] 2019-12-17 00:00:00 互联网

题文

已知：抛物线经过坐标原点。
（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）设点A是抛物线与x轴的另一个交点，试在y轴上确定一点P，使PA+PB最短，并求出点P的坐标；
（3）过点A作AC∥BP交y轴于点C，求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标。
题型：解答题难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线经过坐标原点，
∴k²+k=0，
解得：k₁=0，k₂=-1，
∵k≠0
∴k=-1
∴，
∴
（2）令y=0，得，
解得：x₁=0，x₂=，
∴，
A关于y轴的对称点C的坐标是，
联结A′B，直线A′B与y轴的交点即为所求点P，
可求得直线的解析式：，
∴P（0，2）；
（3）到直线AP、AC、CP距离相等的点有四个，
如图，由勾股定理得PC=PA=AC=4，所以△PAC为等边三角形，
易证x轴所在直线平分∠PAC，BP是△PAC的一个外角的平分线,作∠PCA的平分线，交x轴于点M₁，交过A点的平行线于y轴的直线于点M₂，作△PAC的∠PCA相邻外角的平分线，交AM₂于点M₃，反向延长CM₃交x轴于点M₄，可得点M₁、M₂、M₃、M₄就是到直线AP、AC、CP距离相等的点，可证△APM₂、△ACM₃、△PCM₄均为等边三角形,可求得：
①，所以点M₁的坐标为；
②，所以点M₂的坐标为；
③点M₃与点M₂关于x轴对称，所以点M₃的坐标为；
④点M₄与点A关于y轴对称，所以点M₄的坐标为，
综上所述，到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标分别为，，，。

据专家权威分析，试题“已知：抛物线经过坐标原点。（1）求抛物线的解析式和顶点B的坐标；（..”主要考查你对求二次函数的解析式及二次函数的应用，平行线的性质，平行线的公理，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称，角平分线的性质等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用平行线的性质，平行线的公理等腰三角形的性质，等腰三角形的判定轴对称角平分线的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

求二次函数的解析式：
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；
建立数学模型；
解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
二次函数的三种表达形式：
①一般式：
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

②顶点式：
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式：
y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：
二次函数
∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
=a(x-x₁)(x-x₂).
重要概念：
a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
能熟练地运用二次函数解决实际问题。
二次函数的其他表达形式：
①牛顿插值公式:
f(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...f[x₀,...x_n](x-x₀)...(x-_xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式
y=a(x-x₁)*(x-x2)
若ax2+bx+c=0有两个实根x₁,x₂，则y=a(x-x₁)(x-x₂)此抛物线的对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2。

③三点式
已知二次函数上三个点，（x₁,f(x₁)）（x₂,f(x₂)）（x₃,f(x₃)）
则f(x)=f(x₃)(x-x₁)(x-x₂)/(x₃-x₁)(x₃-x₂)+f(x₂)(x-x₁)*(x-x₃)/(x₂-x₁)(x₂-x₃)+f(x₁)(x-x₂)(x-x₃)/(x₁-x₂)(x₁-x₃)
与X轴交点的情况
当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x₁,0), (x₂,0);
当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
二次函数解释式的求法：
就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法：
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x₁)(x－x₂) （a≠0）x₁，x₂分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
点拨：
解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
∵过点（2，8），
∴8＝a(2+2)(2-1)。
解得a=2，
∴抛物线的解析式为：
y＝2(x+2)(x-1)，
即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
点拨：
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

2.巧用顶点式：
顶点式y=a(x－h)²+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
点拨：
解∵顶点坐标为（-1，-2），
故设二次函数解析式为y=a(x+1)²-2 （a≠0）。
把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)²-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)²-2，即y=3x²+6x+1。

②典型例题二：
如果a>0，那么当时，y有最小值且y_最小=；
如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y_最大=。
告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
点拨：
析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
故可设函数解析式为y＝a(x－4)²－3。
将（1，0）代入得0＝a(1－4)²－3, 解得a＝13．
∴y＝13(x－4)²-3，即y＝13x²－83x＋73。
③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
例如：
（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨：
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
∵a∥c，c ∥b
∴a∥b。

平行线的性质：
1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
简单说成：两直线平行，内错角相等。
3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的性质公理注意：
①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

定义：
有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定：
1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：轴对称

轴对称的定义：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。
轴对称的性质：
（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
（2）对应线段相等，对应角相等；
（3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。
轴对称的判定：
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
这样就得到了以下性质：
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　
4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

轴对称作用:
可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

轴对称的应用:
关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
设二次函数的解析式是 y=ax²+bx+c
则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b²)/4a

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；
矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；
正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，
或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

考点名称：角平分线的性质

角平分线：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平方线定理：
①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。
③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
逆定理：
在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线作法：
在角AOB中，画角平分线

方法一：
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。

方法二：
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
2.连接AN与BM，他们相交于点P；
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/120/2019-12-18/1876333.html十二生肖
十二星座