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如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）。点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行。直线y=-x+m过点C，交y轴于-九年级数学
[db:作者]  2019-12-17 00:00:00  零零社区

题文

如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）。点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行。直线y=-x+m过点C，交y轴于D点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；
（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵抛物线交轴于点A（-3，0），点B（1，0），
∴设抛物线的函数表达式为，
又∵抛物线交y轴于点E（0，-3），
将（0，-3）代入上式，得a=1，
∴抛物线的函数表达式为，即；
（2）∵点C是点A（-3，0）关于点B（1，0）的对称点，
∴点C坐标（5，0），
∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，
∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，
设K点的坐标为（t，0），
则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t2+2t-3），
∵点K为线段AB上一动点，
∴-3≤t≤1，
∴HG=（-t+5）-（t2+2t-3）=-t2-3t+8=-，
∵-3＜-＜1，
∴当t=-时，线段HG的长度有最大值；
（3）∵点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0），
∴点F的坐标为（3，0），
∵直线l过点F且与y轴平行，
∴直线l的函数表达式为x=3，
∵点M在直线l上，点N在抛物线上，
∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n-3），
∵点A（-3，0），点C（5，0），
∴AC=8，
分情况讨论：
①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8，
当点N在点M的左侧时，MN=3-n，
∴3-n=8，解得n=-5，
∴N点的坐标为（-5，12），
当点N在点M的右侧时，MN=n-3，
∴n-3=8，解得n=11，
∴N点的坐标为（11，140），
②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，
由点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，
取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0），
过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，
将x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4，
过点N，B作直线NB交直线l于点M，
在△BPN和△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，
∴△BPN≌△BFM，
∴NB=MB，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，
综上所述，当点N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形。

据专家权威分析，试题“如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0），点B（1，0），交y轴于点..”主要考查你对  求二次函数的解析式及二次函数的应用，二次函数的最大值和最小值，平行四边形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求二次函数的解析式及二次函数的应用二次函数的最大值和最小值平行四边形的性质

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式：
    最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
    （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
    （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
    （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
    （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

    二次函数的应用：
    （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
    理解题意；
    建立数学模型；
    解决题目提出的问题。
    （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
    即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式：
    ①一般式：
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式：
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
    解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
    注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况：
    当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
    当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
    当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

    ③交点式：
    y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .
    已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

    由一般式变为交点式的步骤：
    二次函数
    ∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),
    ∴y=ax2+bx+c
    =a(x2+b/ax+c/a)
    =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
    =a(x-x1)(x-x2).
    重要概念：
    a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
    a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数的其他表达形式：
    ①牛顿插值公式:
    f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    双根式
    y=a(x-x1)*(x-x2)
    若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

    ③三点式
    已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）
    则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
    与X轴交点的情况
    当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
    当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
    Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
    X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

  • 二次函数解释式的求法：
    就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

    1.巧取交点式法：
    知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
    已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
    ①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
    例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
    点拨：
    解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
    ∵过点（2，8），
    ∴8＝a(2+2)(2-1)。
    解得a=2，
    ∴抛物线的解析式为：
    y＝2(x+2)(x-1)，
    即y＝2x2+2x-4。

    ②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
    例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
    点拨：
    在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

    2.巧用顶点式：
    顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
    ①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
    例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
    点拨：
    解∵顶点坐标为（-1，-2），
    故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。
    把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。
    ∴a=3。
    ∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

    ②典型例题二：
    如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；
    如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。
    告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
    例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
    点拨：
    析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
    由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
    ∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
    故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。
    将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．
    ∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。
    ③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
    例如：
    （1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
    （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
    （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
    （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

    ④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
    例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
    点拨：
    解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
    ∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
    ∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

考点名称：二次函数的最大值和最小值

  • 二次函数的最值：
    1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；
    当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。
    也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
    2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时 。

考点名称：平行四边形的性质

  • 平行四边形的概念：
    两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
    平行四边形用符号“□ABCD，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作ABCD”。
    ①平行四边形属于平面图形。
    ②平行四边形属于四边形。
    ③平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
    ④平行四边形属于中心对称图形。

  • 平行四边形的性质：
    主要性质
    （矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
    （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
    （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
    （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
    （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
    （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
    （简述为“平行四边形的邻角互补”）
    （4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
    （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
    （简述为“平行四边形的对角线互相平分”）
    （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）
    （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）
    （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
    （9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
    （10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。
    注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

    （11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
    （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
    （13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
    （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
    （15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。
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