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已知二次函数y=x2+ax+a-2．（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次-数学
[db:作者]  2019-12-17 00:00:00  互联网

题文

已知二次函数y=x2+ax+a-2．
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为

13
时，求出此二次函数的解析式；
（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为
3

13
2
？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）因为△=a2-4（a-2）=（a-2）2+4＞0，
所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．

（2）设x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的两个根，则x1+x2=-a，x1?x2=a-2，因两交点的距离是

13
，
所以|x1-x2|=

(x1-x2)2
=

13
．
即：（x1-x2）2=13
变形为：（x1+x2）2-4x1?x2=13
即（-a）2-4（a-2）=13
整理得：（a-5）（a+1）=0
解方程得：a=5或-1
又∵a＜0
∴a=-1
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3．

（3）设点P的坐标为（x0，y0），
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于

13
，
∴AB=

13

∴S△PAB=
1
2
AB?|y0|=
3

13
2

∴

13
|y0|
2
=
3

13
2

即：|y0|=3，则y0=±3
当y0=3时，x02-x0-3=3，即（x0-3）（x0+2）=0
解此方程得：x0=-2或3
当y0=-3时，x02-x0-3=-3，即x0（x0-1）=0
解此方程得：x0=0或1（11分）
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是（-2，3），（3，3），（0，-3）或（1，-3）．

据专家权威分析，试题“已知二次函数y=x2+ax+a-2．（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/121/2019-12-17/1870024.html十二生肖
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