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已知：二次函数y=x2-mx-4．（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点；（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x1，0）、（x2，0），且1x1+1x2=-1，求m的值，并求出该函数图象-数学
[db:作者]  2019-12-17 00:00:00  互联网

题文

已知：二次函数y=x2-mx-4．
（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不同的交点；
（2）设该函数的图象与x轴的交点坐标为（x1，0）、（x2，0），且
1
x1
+
1
x2
=-1，求m的值，并求出该函数图象的顶点坐标．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）因为△=m2+16＞0，所以一元二次方程x2-mx-4=0有两个不相等的实数根，
因而函数y=x2-mx-4的图象一定与x轴有两个不同的交点；

（2）因为该函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，O），
所以x1，x2是方程x2-mx-4=0的两个实数根，
所以x1+x2=m，x1?x2=-4．
由
1
x1
+
1
x2
=-1得
x1+x2
x1x2
=
m
-4
=-1，
因此m=4．
所以二次函数的解析式为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，因此顶点坐标为（2，-8）．

据专家权威分析，试题“已知：二次函数y=x2-mx-4．（1）求证：该函数的图象一定与x轴有两个不..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
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