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已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4．（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=-数学
[db:作者]  2019-12-17 00:00:00  零零社区

题文

已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）令y=0，得：x2-（2m-1）x+m2+3m+4=0，
∴△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15，
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0，
∴m＜-
15
16
，
此时y的图象与x轴有两个交点；
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0，
∴m=-
15
16
，
此时，y的图象与x轴只有一个交点；
当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0，
∴m＞-
15
16
，
此时y的图象与x轴没有交点．
∴当m＜-
15
16
时，y的图象与x轴有两个交点；
当m=-
15
16
时，y的图象与x轴只有一个交点；
当m＞-
15
16
时，y的图象与x轴没有交点．

（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2+3m+4）=2m2-10m-7，
∵x12+x22=5，
∴2m2-10m-7=5，
∴m2-5m-6=0，
解得：m1=6，m2=-1，
∵m＜-
15
16
，
∴m=-1，
∴y=x2+3x+2，
令x=0，得y=2，
∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2），
又y=x2+3x+2=（x+
3
2
）2-
1
4
，
∴顶点M的坐标为（-
3
2
，-
1
4
），
设过C（0，2）与M（-
3
2
，-
1
4
）的直线解析式为y=kx+b，
解得k=
3
2
，b=2，
∴所求的解析式为y=
3
2
x+2．

据专家权威分析，试题“已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4．（1）探究m满足什么条件..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/121/2019-12-17/1870240.html十二生肖
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