（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1=1，x2=2．当x=3时，y=4，求这个函数的关系式，并写出它的对称轴和顶点坐标．（2）一变：已知二次函数y=ax2+bx+c的图-数学打印页面

（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1=1，x2=2．当x=3时，y=4，求这个函数的关系式，并写出它的对称轴和顶点坐标．（2）一变：已知二次函数y=ax2+bx+c的图-数学

[db:作者] 2019-12-17 00:00:00 零零社区

题文

（1）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为x₁=1，x₂=2．当x=3时，y=4，求这个函数的关系式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
（2）一变：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴两交点间的距离为1，对称轴为x=
3
2
，且当x=3时，y=4．求这个函数的关系式，并写出图象的顶点坐标和最值．
题型：解答题难度：中档

答案

∵两个交点横坐标为x₁=1，x₂=2，
∴这两个交点坐标为（1，0），（2，0）．
把点（1，0），（2，0），（3，4）分别代入函数：y=ax²+bx+c，
得
a+b+c=0
4a+2b+c=0
9a+3b+c=4
，
解得
a=2
b=-6
c=4

∴函数的关系式为：y=2x²-6x+4．
∵=2x²-6x+4=2(x-
3
2
)2-
1
2
，
∴顶点为(
3
2
，-
1
2
)，对称轴为直线x=
3
2
．

（1）∵抛物线与x轴两交点间距离为1，对称轴为x=
3
2
，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0）．
于是把（1，0），（2，0），（3，4）分别代入y=ax²+bx+c，
得
a+b+c=0
4a+2b+c=0
9a+3b+c=4
，
解得
a=2
b=-6
c=4
，
∴函数的关系式为：y=2x²-6x+4．
∵y=2x²-6x+4=2(x-
3
2
)2-
1
2
，
∴顶点为(
3
2
，-
1
2
)，
∵a=2＞0，
∴函数有最小值，当x=
3
2
时，y_最小值=-
1
2
．

据专家权威分析，试题“（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为x1=1..”主要考查你对二次函数与一元二次方程等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程的关系：
函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）。
那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
1、从形式上看：
二次函数：y=ax2＋bx＋c (a≠0)
一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0)
2、从内容上看：
二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
3、相互关系：
二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3
二次函数交点与二次方程根的关系：
抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况说明：
1、若△＞0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有两个交点---相交；
2、若△=0，则一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
3、若△＜0，则一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴没有公共点--相离。
若抛物线y=ax²+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁+x₂=-，x₁x₂=。
点拨：
①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
②若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁,x₂(x₁<x₂),则抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为（x₁,0）,(x₂,0),对称轴为x=x₁+x₂/2。
③若a>0,当x<x₁,或x>x₂时，y>0;当x₁<x<x₂时，y<0。
若a< 0,当x₁<x<x₂时，y>0;当x<x₁或x>x₂时，y<0。
④如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于M（x₁，0），N(x₂，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/121/2019-12-17/1870255.html十二生肖
十二星座