零零教育信息网 首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 二次函数与一元二次方程 > 正文 返回　打印

抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，P为抛物线的顶点，若∠APB=120°，则b2-4ac=______．-数学
[db:作者]  2019-12-17 00:00:00  互联网

题文

抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，P为抛物线的顶点，若∠APB=120°，则b2-4ac=______．
题型：填空题  难度：中档

答案

如图，作PD⊥x轴于D，
设A、B点坐标分别为x1、x2，
则AB=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2
=

(-
b
a
)2-4
c
a
=

b2-4ac
|a|
；
抛物线顶点坐标为（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
），
则DP的长为|
4ac-b2
4a
|，
∵∠APB=120°，
由抛物线是轴对称图形可知，△APB为等腰三角形，
可知，∠PAD=∠PBD=
180°-120°
2
=30°，
于是DP=tan30°?AD=
1
2
tan30°?AB，
即|
4ac-b2
4a
|=
1
2
×

3
3
×

b2-4ac
|a|
，
两边平方得，
(4ac-b2)2
16a2
=
b2-4ac
12a2
，
去分母得，3（b2-4ac）2=4（b2-4ac），
移项得，3（b2-4ac）2-4（b2-4ac）=0，
（b2-4ac）[3（b2-4ac）-4]=0，
解得b2-4ac=0或b2-4ac=
4
3
．
由于抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，故△＞0，
即b2-4ac=
4
3
．
故答案为
4
3
．

据专家权威分析，试题“抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，P为抛物线的顶点，若∠APB=1..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/121/2019-12-18/1874666.html十二生肖
十二星座