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已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x的二次函数y=mx2-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析-数学
[db:作者]  2019-12-17 00:00:00  互联网

题文

已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，x=2．
∴m=0时，方程有实数根．
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）
=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1
=（m+1）2≥0，
∴m≠0时，方程有实数根．
故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
综合①②可知，m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；

（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标，
则x1+x2=
3m-1
m
，x1x2=
2m-2
m
．
由|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9m2-6m+1
m2
-
8m2-8m
m2

=

m2+2m+1
m2

=

(m+1)2
m2

=|
m+1
m
|．
由|x1-x2|=2，得|
m+1
m
|=2，
∴
m+1
m
=2或
m+1
m
=-2．
∴m=1或m=-
1
3
．
∴所求抛物线的解析式为y1=x2-2x，
y2=-
1
3
（x-2）（x-4）．
其图象如右图所示：

（3）在（2）的条件下y=x+b与抛物线
y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象求b的取值范围．

y1=x2-2x
y=x+b
，
当y1=y时，得x2-3x-b=0，有△=9+4b=0得b=-
9
4
．
同理

y2=-
1
3
x2+2x-
8
3
y=x+b
，△=9-4（8+3b）=0，得b=-
23
12
．
观察图象可知，
当b＞-
9
4
，或b＜-
23
12
直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点；
由

y1=x2-2x
y2=-
1
3
(x-2)(x-4)
，
当y1=y2时，有x=2或x=1．
当x=1时，y=-1．
所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线为y=x-2．
综上所述可知：当b＜-
9
4
或b＞-
23
12
或b=-2时，
直线y=x+b与（2）中图象只有两个交点．

据专家权威分析，试题“已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，..”主要考查你对  二次函数与一元二次方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

二次函数与一元二次方程

考点名称：二次函数与一元二次方程

  • 二次函数与一元二次方程的关系：
    函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
    那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。
    1、从形式上看：
    二次函数：y=ax2＋bx＋c  (a≠0)
    一元二次方程：ax2＋bx＋c=0  (a≠0)
    2、从内容上看：
    二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值
    3、相互关系：
    二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。
    如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3

  • 二次函数交点与二次方程根的关系：
    抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
    1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；
    2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；
    3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。
    若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。

  • 点拨：
    ①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。
    ②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1<x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。
    ③若a>0,当x<x1,或x>x2时，y>0;当x1<x<x2时，y<0。
    若a< 0,当x1<x<x2时，y>0;当x<x1或x>x2时，y<0。
    ④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/121/2019-12-18/1874758.html十二生肖
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