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关于x，y的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整数解为______．-数学

[db:作者] 2019-12-19 00:00:00 互联网

题文

关于x，y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数解为______．
题型：填空题难度：偏易

答案

方法1：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
这是一个以（104，-104）为圆心，104
2
为半径的圆，可用参数方程表示为：
x-104
104
2
=sinθ，
y+104
104
2
=cosθ
x=104
2
sinθ+104=104（
2
sinθ+1），y=104
2
cosθ-104=104（
2
cosθ-1）
x、y都是正整数，那么104（sinθ+1）和104（cosθ-1）同时为正整数
sinθ＞-
2
2
，cosθ＞
2
2
，且sinθ和cosθ值的分母是104的约数，分子是
2
的整数倍
（1）分母为2：（
2
2
A）²+（
2
2
B）²=1
A²+B²=2
A=±1，B=±1，（舍去）
（2）分母为4：（
2
4
A）²+（
2
4
B）²=1
A²+B²=8
A=±2，B=±2，（舍去）
（3）分母为8：（
2
8
A）²+（
2
8
B）²=1
A²+B²=32
A=±4，B=±4，（舍去）
（4）分母为13：（
2
13
A）²+（
2
13
B）²=1
A²+B²=
169
2
，（舍去）
（5）分母为26：（
2
26
A）²+（
2
26
B）²=1
A²+B²=338
A=±7，B=±17，或者A=±17，B=±7，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合
（6）分母为52：（
2
52
A）²+（
2
52
B）²=1
A²+B²=1352
A=±14，B=±34，或者A=±26，B=±26，（舍去）
或者A=±34，B=±14，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合．
方法2：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
∵2×104²是偶数，（x-104），（y+104）有相同的奇偶性
∴x，y具有相同的奇偶性
∵x²+y²=208（x-y）
∴x，y均为偶数
令x=2a，y=2b，则（a-52）²+（b+52）²=2×52²，a²+b²=104（a-b）
同理，令a=2c，b=2d，则（c-26）²+（d+26）²=2×26²，c²+d²=52（c-d）
令c=2s，d=2t，则（s-13）²+（t+13）²=2×13²，（s，t为正整数）
可得正整数解只有（s-13）²=7²，（t+13）²=17²
即s=20或6，t=4
故x=8s=160或48，y=8t=32

据专家权威分析，试题“关于x，y的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整数解为______．-数学-魔方..”主要考查你对三元（及三元以上）一次方程（组）的解法等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三元（及三元以上）一次方程（组）的解法

考点名称：三元（及三元以上）一次方程（组）的解法

三元一次方程的定义:
就是含有三个未知数,并且含有未知数的项的次数是1的整式方程。如x+y-z=1,2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
三元一次方程组：
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
例如：就是三元一次方程组。
注：三元一次方程组必须满足：
1.方程组中有且只有三个未知数；
2.含未知数的项的次数都是1.
3.每个方程中不一定都含有三个未知数。

三元一次方程（组）的解：
一般的，使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值，叫作三元一次方程的解。
三元一次方程组的三个方程的公共解，叫作三元一次方程的解。
三元一次方程组的解题思路及步骤：
思路:
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，即准化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.
类型：
类型一：有表达式，用代入法；
类型二：缺某元，消某元。还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的。
步骤:
①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组;
②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;
③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。
注意：
①要根据方程的特点决定首先消去哪个未知数；
②原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次；
③将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左右两边的值不相等就不是原方程组的解。
例：
解方程组：
发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.
解法1：消x
②-① 得 y+4z=10 .④
③代人① 得5y+z=12 . ⑤
由④、⑤解得：
把y=2,代入③，得x=8.
∴   是原方程组的解.
方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标。

解法2：消x
由③代入①②得

解得：
把y=2代入③，得x=8.
∴   是原方程组的解。

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