如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说-数学打印页面

如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说-数学

[db:作者] 2019-12-31 00:00:00 互联网

题文

如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．
（1）求EC：CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）如图1．∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：CE=BE：CF，

∴EC：CF=AB：BE=5：2

（2）如图2，在AB上取BG=BE，连接EG，
∵ABCD为正方形，
∴AB=BC，
∵BE=BG，
∴AG=EC，
在△AGE和△ECP中
∠1=∠2
AG=EC
∠AGE=∠ECP
，
∴△AGE≌△ECP（ASA），
∴AE=EP；

（3）存在．顺次连接DMEP．
如图2．
在AB取点M，使AM=BE，
∵AE⊥EF，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠DAM=∠ABE=90°，DA=AB，
AD=AB
∠DAM=∠ABE
AM=BE

∴△DAM≌△ABE（SAS），
∴DM=AE，
∵AE=EP，
∴DM=PE，
∵∠1=∠5，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴DM⊥AE，
∴DM∥PE
∴四边形DMEP是平行四边形．

据专家权威分析，试题“如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，..”主要考查你对余角，补角，平行四边形的判定，正方形，正方形的性质，正方形的判定，角平分线的性质等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

余角，补角平行四边形的判定正方形，正方形的性质，正方形的判定角平分线的性质

考点名称：余角，补角

余角：
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A
补角：
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A
补角的性质：
同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角的性质：
同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
注意：
①钝角没有余角；
②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；
③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
余角与补角概念认识提示：
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
（3）∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,能说∠1 、∠2、 ∠3 互余（互补）吗？
不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。

考点名称：平行四边形的判定

平行四边形的判定：
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的面积：S=底×高。

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

正方形的定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
特殊的长方形。
四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角为直角的菱形是正方形。
对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
正方形的性质：
1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
2、内角：四个角都是90°；
3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；
5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；
正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
8、正方形是特殊的长方形。
正方形的判定：
判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

有关计算公式：
若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则
正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；
正方形周长计算公式: C=4a 。
S_正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）

考点名称：角平分线的性质

角平分线：
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平方线定理：
①角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。垂直于两边为最短距离。
②角平分线能得到相同的两个角，都等于该角的一半。
③三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
④三角形的三个角的角平分线相交于一点，这个点称为内心，即以此点为圆心可以在三角形内部画一个内切圆。
逆定理：
在角的内部，到角两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线作法：
在角AOB中，画角平分线

方法一：
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N。
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。
当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。

方法二：
1.在两边OA、OB上分别截取OM、OA和ON、OB，且使得OM=ON，OA=OB；
2.连接AN与BM，他们相交于点P；
3.作射线OP。
则射线OP为角AOB的角平分线。

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