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如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OC=12EF；（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形-数学
[db:作者]  2020-01-06 00:00:00  互联网

题文

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交

∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OC=
1
2
EF；
（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？并给出证明．
题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠OEC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OC=OE=OF，
故0C=
1
2
EF；

（2）当点O位于AC边的中点时，四边形AECF是矩形．
由（1）知OE=OF，
又O为AC边的中点，
∴OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECO=
1
2
∠ACB，∠OCF=
1
2
∠ACD，
∴∠ECF=∠ECO+∠OCF=
1
2
（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴四边形AECF是矩形．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

  • 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
    推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
    ∵a∥c，c ∥b
    ∴a∥b。

    平行线的性质：
    1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
    简单说成：两直线平行，同位角相等。
    2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
    简单说成：两直线平行，内错角相等。
    3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
    简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

  • 平行线的性质公理注意：
    ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
    ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
    ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
    ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

  • 矩形:
    是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

  • 矩形的性质：
    1．矩形的4个内角都是直角；
    2．矩形的对角线相等且互相平分；
    3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
    4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
    5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
    6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

  • 矩形的判定：
    ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
    ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
    ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
    ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
    矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。

  • 黄金矩形:
    宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
    黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/151/2020-01-07/1941197.html十二生肖
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