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如图a,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b,点E、F分别是两腰AD、BC上的点,且EF∥AB,设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2,某同学在对这一图形进行研究时,发现如下事实:①当d1d2=1-数学

[db:作者]  2020-01-06 00:00:00  互联网

题文

如图a,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b,点E、F分别是两腰AD、BC上的点,且EF∥AB,设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2,某同学在对这一图形进行研究时,发现如下事实:
①当
d1
d2
=
1
1
时,有EF=
a+b
2

d1
d2
=
1
2
时,有EF=
a+2b
3

d1
d2
=
1
3
时,有EF=
a+3b
4

d1
d2
=
1
4
时,有EF=
a+4b
5

②当
d1
d2
=
2
1
时,有EF=
2a+b
3
;当
d1
d2
=
3
1
时,有EF=
3a+b
4

d1
d2
=
4
1
时,有EF=
4a+b
5
;当
d1
d2
=
5
1
时,有EF=
5a+b
6

根据以上结论,解答下列问题:
(1)猜想当
d1
d2
=
1
n
d1
d2
=
m
1
时,分别能得到什么结论(其中m、n均为正整数)?
(2)进一步猜想当
d1
d2
=
m
n
时,有何结论(其中m、n均为正整数)?并证明你的结论;
(3)如图b,有一块梯形耕地ABCD,AB∥CD,CD=100米,AB=300米,AD=500米,在AD上取两点E、F,使DE=200米,EF=150米,分别从E、F两处为起点开挖两条平行于两底的水渠,直到另一腰,求这两条水渠的总长度.


题型:解答题  难度:中档

答案



(1)当
d1
d2
=
1
n
时,EF=
a+nb
n+1

d1
d2
=
m
1
时,EF=
ma+b
m+1


(2)当
d1
d2
=
m
n
时,EF=
ma+nb
m+n

证明:延长AD、BC交于G,设△DCG在BC边上的高为h,则由三角形相似得:

b
EF
=
h
h+m
b
a
=
h
h+m+n
从上述关于h,EF的方程组中易求得EF=
ma+nb
m+n


(3)由于过点E平行于两底的水渠到两底的距离比等于2:3,由(2)中的结论可得:
水渠长=
2BC+3AD
2+3
=180(米)
由于过点F平行于两底的水渠到两底的距离比等于7:3,由(2)中的结论可得:
水渠长=
7BC+3AD
7+3
=240(米)
故两条水渠的总长度是180+240=420(米).

据专家权威分析,试题“如图a,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=a,CD=b,点E、F分别是两腰AD、BC..”主要考查你对  平行线的性质,平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

平行线的性质,平行线的公理

考点名称:平行线的性质,平行线的公理

  • 平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
    推论(平行线的传递性):平行同一直线的两直线平行。
    ∵a∥c,c ∥b
    ∴a∥b。

    平行线的性质:
    1. 两条平行被第三条直线所截,同位角相等。
    简单说成:两直线平行,同位角相等。
    2. 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。
    简单说成:两直线平行,内错角相等。
    3 . 两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
    简单说成:两直线平行,同旁内角互补。

  • 平行线的性质公理注意:
    ①注意条件“经过直线外一点”,若经过直线上一点作已知直线的平行线,就与已知直线重合了;
    ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性;
    ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
    ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等,一提同旁内角就认为互补,若没有两直线平行的条件,他们是不成立的。



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