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已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A=25°，∠APC=70°时，求∠C的度数；（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有什么确定-数学
[db:作者]  2020-01-06 00:00:00  互联网

题文

已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．

（1）如图①，当∠A=25°，∠APC=70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有什么确定的相等关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段FE的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的相等关系并证明．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A=25°．
∴∠QPC=∠APC-∠APQ=45°．
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴CD∥PQ．
∴∠C=∠QPC=45°．

（2）∠C=∠APC-∠A．
证明如下：过点P作PQ∥AB．
∴∠APQ=∠A．
∴∠QPC=∠APC-∠APQ=∠APC-∠A．
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴CD∥PQ．
∴∠C=∠QPC．
∴∠C=∠APC-∠A．

（3）不成立，新的相等关系为∠C=∠APC+∠A．
证明：设AB与CP相交于Q，则∠PQB=∠APC+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠PQB，
∴∠C=∠APC+∠A．

据专家权威分析，试题“已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．（1）如图①，当∠A=25°..”主要考查你对  平行线的性质，平行线的公理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

平行线的性质，平行线的公理

考点名称：平行线的性质，平行线的公理

  • 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
    推论（平行线的传递性）：平行同一直线的两直线平行。
    ∵a∥c，c ∥b
    ∴a∥b。

    平行线的性质：
    1. 两条平行被第三条直线所截，同位角相等。
    简单说成：两直线平行，同位角相等。
    2. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
    简单说成：两直线平行，内错角相等。
    3 . 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
    简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

  • 平行线的性质公理注意：
    ①注意条件“经过直线外一点”，若经过直线上一点作已知直线的平行线，就与已知直线重合了；
    ②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
    ③平行公理的推论体现了平行线的传递性。
    ④在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论。这是平行线特有的性质。不要一提同位角或内错角就认为他们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，他们是不成立的。
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