如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，（1）若α=110°，则∠A=______．（2）若∠A=30°，则β=______．（3）猜想并证明α与β之间的关-数学打印页面

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，（1）若α=110°，则∠A=______．（2）若∠A=30°，则β=______．（3）猜想并证明α与β之间的关-数学

[db:作者] 2020-01-10 00:00:00 零零社区

题文

如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，
（1）若α=110°，则∠A=______．
（2）若∠A=30°，则β=______．
（3）猜想并证明α与β之间的关系．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）∵α=110°，
∴∠2+∠4=180°-110°=70°，
∵∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠4）=2×70°=140°，
∴∠A=180°-2（∠2+∠4）=180°-140°=40°．
故答案为：40°．

（2）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-140°=220°，
∵ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的夹角为β，
∴∠6+∠7=
1
2
（∠DBC+∠ECB）=
1
2
×220°=110°，
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-110°=70°．
故答案为：70°．

（3）互补．
证明：如图所示：
∵OB，OC分别是∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠1=∠2，3=∠4，
∴α=180°-（∠2+∠4）=180°-
1
2
（∠ABC+∠ACB）①；
∵BP，CP是△ABC的外角平分线，
∴∠6+∠7=
1
2
[360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°-
1
2
（∠ABC+∠ACB），
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-180°+
1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（∠ABC+∠ACB）②，
①+②得，α+β=180°，
∴α与β互补．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线夹角为α，∠ABC的外角平分线与..”主要考查你对三角形的内角和定理等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内角和定理

考点名称：三角形的内角和定理

三角形的内角和定理及推论：
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

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