如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．-数学打印页面

如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．-数学

[db:作者] 2020-01-10 00:00:00 互联网

题文

如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）β=90°+
1
2
α；（2）β=
1
2
α；（3）β=90°-
1
2
α．
下面选择（1）进行证明．
在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=
1
2
∠ABC，∠PCB=
1
2
∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=
1
2
（∠ABC+∠ACB）=90°-
1
2
α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-
1
2
α）=90°+
1
2
α．
∴β=90°+
1
2
α．图（2），结论：∠BPC=
1
2
∠A．
证明如下：
∠P=∠1-∠2=
1
2
（∠ACD-∠ABC）=
1
2
∠A．
∴β=
1
2
α；
（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=
1
2
（∠A+∠ACB），∠BCP=
1
2
（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-
1
2
（∠ABC+∠ACB），
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-
1
2
（∠ABC+∠ACB）=90°-
1
2
α．

据专家权威分析，试题“如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，..”主要考查你对三角形的外角性质等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的外角性质

考点名称：三角形的外角性质

三角形的外角：
三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。

∠1是三角形的外角。
三角形的外角特征：
①顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
②一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；
③另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。

性质：
①. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
②. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
④. 三角形的外角和等于360°。
设三角形ABC 则三个外角和=（A+B）+（A+C）+（B+C）=360度。

定理：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
定理：三角形的三个内角和为180度。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/156/2020-01-10/1961415.html十二生肖
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