零零教育信息网 首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线 > 正文 返回　打印

如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．（1）在△BED中作BD边上的高．（2）若△ABC的面积为20，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？-数学
[db:作者]  2020-01-14 00:00:00  零零社区

题文

如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．
（1）在△BED中作BD边上的高．
（2）若△ABC的面积为20，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？

题型：解答题  难度：中档

答案



（1）如图所示：

（2）∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=
1
2
S△ABC，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△BED=
1
2
S△ABD，
∵△ABC的面积为20，
∴△EBD的面积是20÷4=5，
∴
1
2
?DB?EH=5，
∴
1
2
×5?EH=5，
EH=2．
即点E到BC边的距离为2．

据专家权威分析，试题“如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．（1）在△BED中作BD边上的高..”主要考查你对  三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线，三角形的周长和面积，尺规作图  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线三角形的周长和面积尺规作图

考点名称：三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线

  • 三角形的中线：
    在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。
    每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
    角平分线：
    三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
    三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
    高线：
    从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
    线段的垂直平分线：
    经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

    <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明
    巧计方法：点到线段两端距离相等。

  • 三角形中线性质定理：
    1    、三角形的三条中线都在三角形内。<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

    2、三角形的三条中线长：

    ma=(1/2)√2b2+2c2 -a2 ；

    mb=(1/2)√2c2 +2a2 -b2  ；

    mc=(1/2)√2a2 +2b2 -c2  。

    (ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）

    3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

    4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

    5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.

    定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

     

    角平分线线定理：
    定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
    逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
    定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
    如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
    注：定理2的逆命题也成立。
    三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

     

    垂直平分线的性质：
    1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。  
    2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。  
    3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。  
    垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

  • <?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />垂直平分线的尺规作法：
    方法一：
    1、取线段的中点。
    2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。
    3、连接这两个交点。
    原理：等腰三角形的高垂直等分底边。
    方法二：
    1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。
    2、连接这两个交点。原理：两点成一线。
    垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）

考点名称：三角形的周长和面积

  • 三角形的概念：
    由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

    构成三角形的元素：
    边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
    顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
    内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

    三角形有下面三个特性：
    （1）三角形有三条线段；
    （2）三条线段不在同一直线上；
    （3）首尾顺次相接。

    三角形的表示：
    用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

  • 三角形的分类：
    （1）三角形按边的关系分类如下：
    ；
    （2）三角形按角的关系分类如下：

    把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

  • 三角形的周长和面积：
    三角形的周长等于三角形三边之和。
    三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：尺规作图

  • 尺规作图：
    是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。
    一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。
    其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。
    运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

  • 尺规作图的中基本作图：
    作一条线段等于已知线段；
    作一个角等于已知角；
    作线段的垂直平分线；
    作已知角的角平分线；
    过一点作已知直线的垂线。
    还有：
    已知一角、一边做等腰三角形
    已知两角、一边做三角形
    已知一角、两边做三角形
    依据公理：
    还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。
    注意：
    保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

  • 尺规作图方法：
    任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
    ·通过两个已知点可作一直线。
    ·已知圆心和半径可作一个圆。
    ·若两已知直线相交，可求其交点。
    ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
    ·若两已知圆相交，可求其交点。

  • 尺规作图简史：
    “规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.
    矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
    《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
    春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.
    古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
    古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.
    由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/158/2020-01-14/1970057.html十二生肖
十二星座