零零教育信息网 首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 三角形的内心、外心、中心、重心 > 正文 返回　打印

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．-数学
[db:作者]  2020-01-14 00:00:00  零零社区

题文

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．
题型：解答题  难度：中档

答案

设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边），
则a+b+c=60．
∵a≤b＜c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＜3c，
∴c＞20．
∵a+b＞c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＞2c，
∴c＜30．
又∵c为整数，
∴21≤c≤29．
根据勾股定理可得：a2+b2=c2，把c=60-a-b代入，
化简得：ab-60（a+b）+1800=0，
∴（60-a）（60-b）=1800=23×32×52，
∵a，b均为整数且a≤b，
∴只可能是

60-a=23×5
60-b=32×5
或

60-a=2×52
60-b=22×32

解得

a=20
b=15
或

a=10
b=24.
，
∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c，
∴当a=20，b=15时，c=25，三角形的外接圆的面积为
625
4
π；
当a=10，b=24时，c=26，三角形的外接圆的面积为169π．

据专家权威分析，试题“已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．-..”主要考查你对  三角形的内心、外心、中心、重心，三角形的三边关系，勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的内心、外心、中心、重心三角形的三边关系勾股定理

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

  • 三角形的四心定义：
    1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
    内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
    2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
    外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
    3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
    4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

  • 三角形的外心的性质：
    1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
    2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
    3.锐角三角形的外心在三角形内；
    钝角三角形的外心在三角形外；
    直角三角形的外心与斜边的中点重合。

    在△ABC中
    4.OA=OB=OC=R
    5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
    6.S△ABC=abc/4R

    三角形的内心的性质：
    1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
    2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
    3.r=2S/(a+b+c)
    4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
    5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
    6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

    三角形的垂心的性质:
    1.锐角三角形的垂心在三角形内；
    直角三角形的垂心在直角顶点上；
    钝角三角形的垂心在三角形外。
    2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
    者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

    例如在△ABC中
    3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
    4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
    5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
    6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
    7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
    8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
    9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
    10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
    11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
    12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
    13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。
    14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
    15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

    三角形的重心的性质:
    1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
    2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
    3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
    4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
    空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3  纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3  竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
    5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
    6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

    三角形旁心的性质:
    1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
    2、每个三角形都有三个旁心。
    3、旁心到三边的距离相等。
    三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

考点名称：三角形的三边关系

  • 三角形的三边关系：
    在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。
    设三角形三边为a,b,c
    则
    a+b>c
    a+c>b
    b+c>a
    a-b<c
    a-c<b
    b-c<a
    在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。
    则两直角边的平方和等于斜边平方。
    在等边三角形中，a=b=c
    在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b
    在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc

  • 三角形的三边关系定理及推论：
    （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
    推论：三角形的两边之差小于第三边。
    （2）三角形三边关系定理及推论的作用：
    ①判断三条已知线段能否组成三角形；
    ②当已知两边时，可确定第三边的范围；
    ③证明线段不等关系。

考点名称：勾股定理

  • 勾股定理:
    直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
    勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

  • 定理作用
    ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
    ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
    ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
    ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

  • 勾股定理的应用：
    数学
    从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
    勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。

    生活
    勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
    1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
    第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
    第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
    第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
    屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
    2、2005年珠峰高度复测行动。
    测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
    通俗来说，就是分三步走：
    第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
    第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
    第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/159/2020-01-14/1969607.html十二生肖
十二星座