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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度-九年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动。伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0），
（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是________；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值。若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。
题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）1；；
（2）作QF⊥AC于点F，AQ=CP= t，
∴AP=3-t，
由△AQF∽△ABC，，
得，∴，
∴，即。
（3）能。
①当DE∥QB时，如图1，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°，
由△APQ∽△ABC，得，
即，解得。
②如图2，当PQ∥BC时，DE⊥BC，
四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ =90°，
 由△AQP∽△ABC，得，
即，解得。



（4）或。

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5。点P从点C出发沿CA以每秒..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，求二次函数的解析式及二次函数的应用，勾股定理，梯形，梯形的中位线，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理梯形，梯形的中位线相似三角形的性质

考点名称：直角三角形的性质及判定

  • 直角三角形定义：
    有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

  • 直角三角形性质：
    直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
    性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
    性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
    性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
    性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
    性质5:

    如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
    （1）（AD)2=BD·DC。
    （2）（AB)2=BD·BC。
    （3）（AC)2=CD·BC。
    性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
    在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
    性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
    性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
    性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

  • 直角三角形的判定方法：
    判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
    判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
    判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
    判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
    判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
    判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
    判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式：
    最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
    （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
    （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
    （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
    （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

    二次函数的应用：
    （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
    理解题意；
    建立数学模型；
    解决题目提出的问题。
    （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
    即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式：
    ①一般式：
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式：
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
    解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
    注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况：
    当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
    当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
    当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

    ③交点式：
    y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .
    已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

    由一般式变为交点式的步骤：
    二次函数
    ∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),
    ∴y=ax2+bx+c
    =a(x2+b/ax+c/a)
    =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
    =a(x-x1)(x-x2).
    重要概念：
    a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
    a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数的其他表达形式：
    ①牛顿插值公式:
    f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    双根式
    y=a(x-x1)*(x-x2)
    若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

    ③三点式
    已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）
    则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
    与X轴交点的情况
    当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
    当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
    Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
    X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

  • 二次函数解释式的求法：
    就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

    1.巧取交点式法：
    知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
    已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
    ①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
    例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
    点拨：
    解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
    ∵过点（2，8），
    ∴8＝a(2+2)(2-1)。
    解得a=2，
    ∴抛物线的解析式为：
    y＝2(x+2)(x-1)，
    即y＝2x2+2x-4。

    ②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
    例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
    点拨：
    在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

    2.巧用顶点式：
    顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
    ①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
    例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
    点拨：
    解∵顶点坐标为（-1，-2），
    故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。
    把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。
    ∴a=3。
    ∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

    ②典型例题二：
    如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；
    如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。
    告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
    例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
    点拨：
    析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
    由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
    ∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
    故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。
    将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．
    ∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。
    ③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
    例如：
    （1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
    （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
    （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
    （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

    ④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
    例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
    点拨：
    解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
    ∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
    ∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

考点名称：勾股定理

  • 勾股定理:
    直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
    勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

  • 定理作用
    ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
    ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
    ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
    ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

  • 勾股定理的应用：
    数学
    从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
    勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。

    生活
    勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
    1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
    第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
    第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
    第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
    屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
    2、2005年珠峰高度复测行动。
    测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
    通俗来说，就是分三步走：
    第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
    第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
    第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。

考点名称：梯形，梯形的中位线

  • 梯形的定义：
    一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
    梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
    梯形的中位线：
    连结梯形两腰的中点的线段。 

  • 梯形性质：
    ①梯形的上下两底平行；
    ②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。
    ③等腰梯形对角线相等。

    梯形判定：
    1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
    2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

    梯形中位线定理：
    梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
    梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积
    梯形中位线到上下底的距离相等
    中位线长度=（上底+下底）

    梯形的周长与面积：
    梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。
    等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
    梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。
    变形1：h=2s÷（a+b）；
    变形2：a=2s÷h-b；
    变形3：b=2s÷h-a。
    另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。
    对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。

  • 梯形的分类：


    等腰梯形：两腰相等的梯形。
    直角梯形：有一个角是直角的梯形。

    等腰梯形的性质：
    （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
    （2）等腰梯形的对角线相等。
    （3）等腰梯形是轴对称图形。

    等腰梯形的判定：
    （1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
    （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
    （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

考点名称：相似三角形的性质

  • 相似三角形性质定理：
    (1)相似三角形的对应角相等。
    (2)相似三角形的对应边成比例。
    (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
    (4)相似三角形的周长比等于相似比。
    (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
    (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
    (7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项
    (8)c/d=a/b 等同于ad=bc.
    (9)不必是在同一平面内的三角形里
    ①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
    ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
    ③相似三角形周长的比等于相似比

    定理推论：
    推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
    推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
    推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
    推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
    推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
    推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/160/2020-05-20/1992097.html十二生肖
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