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如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC经过AB的中点M，（1）若OM=MC，求∠OCB的度数；（2）作∠BAD=2∠ABD，AD交BC的延长线于D，求证：AD是⊙O的切线．-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC经过AB的中点M，
（1）若OM=MC，求∠OCB的度数；
（2）作∠BAD=2∠ABD，AD交BC的延长线于D，求证：AD是⊙O的切线．

题型：解答题  难度：中档

答案



（1）∵M是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵OM=MC，
∴BC=OB，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°；

（2）证明：连接OA，
∵∠AOC=2∠ABC，∠BAD=2∠ABD，
∴∠AOC=∠BAD，
∵∠AOC+∠OAB=90°，
∴∠OAD=∠AOB+∠BAD=∠OAB+∠AOC=90°，
即OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．

据专家权威分析，试题“如图，在⊙O中，AB是弦，半径OC经过AB的中点M，（1）若OM=MC，求∠OC..”主要考查你对  直角三角形的性质及判定，垂直于直径的弦，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定垂直于直径的弦直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：直角三角形的性质及判定

  • 直角三角形定义：
    有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

  • 直角三角形性质：
    直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
    性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
    性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
    性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
    性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
    性质5:

    如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
    （1）（AD)2=BD·DC。
    （2）（AB)2=BD·BC。
    （3）（AC)2=CD·BC。
    性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
    在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
    性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
    性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
    性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则    BD:DC=AB:AC

  • 直角三角形的判定方法：
    判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
    判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
    判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
    判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
    判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
    判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
    判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

考点名称：垂直于直径的弦

  • 垂径定理：
    垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
    注：
    （1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
    （2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。

    垂径定理的推论：
    推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
    推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
    推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
    推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
    推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
    (证明时的理论依据就是上面的五条定理)
    但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:

    一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论
    1.平分弦所对的优弧
    2.平分弦所对的劣弧
    （前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
    3.平分弦 (不是直径)
    4.垂直于弦
    5.经过圆心

考点名称：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

  • 直线与圆的位置关系:
    直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
    （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；
    （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
    （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离）

  • 直线与圆的三种位置关系的判定与性质：
    （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，
    如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
    直线l与⊙O相交d<r；
    直线l与⊙O相切d=r；
    直线l与⊙O相离d>r；
    （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
    直线l与⊙O相交d<r2个公共点；
    直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；
    直线l与⊙O相离d>r无公共点 。

    圆的切线的判定和性质   
    （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
    （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

    切线长：
    在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
    切线长定理：
    从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

  • 直线与圆的位置关系判定方法:
    平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
    1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
    如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
    如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
    如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

    2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
    令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 
    当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；
    当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交。 
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/160/2020-05-20/1994058.html十二生肖
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