如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，-数学打印页面

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，-数学

[db:作者] 2020-05-20 00:00:00 互联网

题文

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）当然是GH不变．
延长HG交OP于点E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH=
2
3
EH，
∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
∴EH=
1
2
OP
∴GH=
2
3
×（
1
2
OP）=
2
3
×（
1
2
×6）=2；

（2）延长PG交OA于C，则y=
2
3
×PC．
我们令OC=a=CH，
在Rt△PHC中，PC=
PH2+CH2
=
x2+a2
，
则y=
2
3
×
x2+a2
；
在Rt△PHO中，有OP²=x²+（2a）²=6²=36，
则a²=9-
x2
4
，
将其代入y=
2
3
×
x2+a2
得y=
2
3
×
3
4
x2+9
=
3x2+36
3
（0＜x＜6）；

（3）如果PG=GH，则y=GH=2，
解方程：x=0，
那GP不等于GH，则不合意义；
如果，PH=GH=2则可以解得：x=2；
如果，PH=PG，则x=y代入可以求得：x=
6
，
综合上述线段PH的长是
6
或2．

据专家权威分析，试题“如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，..”主要考查你对直角三角形的性质及判定等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

直角三角形定义：
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
直角三角形性质：
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则 BD:DC=AB:AC
直角三角形的判定方法：
判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

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