如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点-数学打印页面

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点-数学

[db:作者] 2020-05-20 00:00:00 零零社区

题文

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

题型：单选题难度：偏易

答案

①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴∠ABP=
1
2
∠ABC，
∠CAP=
1
2
（90°+∠ABC）=45°+
1
2
∠ABC，
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，
=180°-（45°+
1
2
∠ABC+90°-∠ABC）-
1
2
∠ABC，
=180°-45°-
1
2
∠ABC-90°+∠ABC-
1
2
∠ABC，
=45°，故本小题正确；
②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP与△FDP中，
∠AHP=∠FDP
∠APH=∠FPD=90°
AP=PF
，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF=AH，
∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，
∴∠PAE+∠BAP=180°，
又∵∠PFD+∠BFP=180°，
∴∠PAE=∠PFD，
∵∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP与△FBP中，
∠PAE=∠PFD
∠ABP=∠FBP
PB=PB
，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴AB=BF，AP=PF故②小题正确；
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD-AH=AB，故③小题正确；
④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，
∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG，
∵∠PAF=45°，AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG=AG，GH=GF，
∴DG=GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选A．

据专家权威分析，试题“如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线..”主要考查你对直角三角形的性质及判定等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

直角三角形的性质及判定

考点名称：直角三角形的性质及判定

直角三角形定义：
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。
直角三角形性质：
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则 BD:DC=AB:AC
直角三角形的判定方法：
判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）

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