零零教育信息网 首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定 > 正文 返回　打印

已知：如图，D是ΔABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．求证：（1）ΔABC是等腰三角形；（2）当∠A=90。时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论。-九年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

已知：如图，D是ΔABC的BC边上的中点， DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
求证：（1）ΔABC是等腰三角形；
 （2）当∠A=90。时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论。

题型：解答题  难度：中档

答案

证明：（1）∵D是ΔABC的BC边上的中点
    ∴BD=DC
    ∵DE⊥AC，DF⊥AB
    ∴∠DFB=∠DEC=90°
   又∵BF=CE
    ∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）
     ∴∠B=∠C
    ∴AC=AB 即△ABC是等腰三角形
（2）当∠A=90°时，四边形AFDE是正方形
  理由：∵∠A=∠AFD=∠AED=90°
     ∴四边形AFDE是矩形
  又∵AB=AC，BF=CE
     ∴AF=AE
    ∴四边形AFDE是正方形

据专家权威分析，试题“已知：如图，D是ΔABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定，正方形，正方形的性质，正方形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形全等的判定正方形，正方形的性质，正方形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理：
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

  • 三角形全等的判定公理及推论：
    (1)“边角边”简称“SAS”
    (2)“角边角”简称“ASA”
    (3)“边边边”简称“SSS”
    (4)“角角边”简称“AAS”
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

    要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
    以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
    ①S.S.S. (边、边、边)：
    各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ②S.A.S. (边、角、边)：
    各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ③A.S.A. (角、边、角)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ④A.A.S. (角、角、边)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：
    各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
    ⑥A.A.A. (角、角、角)：
    各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
    ⑦A.S.S. (角、边、边)：
    各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。
    但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

  • 解题技巧：
    一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
    因此我们可以来采取逆思维的方式。
    来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
    然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
    有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
    分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。

考点名称：正方形，正方形的性质，正方形的判定

  • 正方形的定义：
    有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
    特殊的长方形。
    四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
    有一组邻边相等的矩形是正方形。
    有一个角为直角的菱形是正方形。
    对角线平分且相等，并且对角线互相垂直的四边形为正方形。
    对角线相等的菱形是正方形。

  • 正方形的性质：
    1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
    2、内角：四个角都是90°；
    3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
    4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；
    5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质；
    6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
    正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
    7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%；
    正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。
    8、正方形是特殊的长方形。

  • 正方形的判定：
    判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。
    1：对角线相等的菱形是正方形。
    2：有一个角为直角的菱形是正方形。
    3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
    4：一组邻边相等的矩形是正方形。
    5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
    6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
    7：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
    8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
    9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

    有关计算公式：
    若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则
    正方形面积计算公式：S =a×a（即a的2次方或a的平方），或S=对角线×对角线÷2；
    正方形周长计算公式: C=4a 。
    S正方形=。（正方形边长为a，对角线长为b）
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/161/2020-05-20/1995725.html十二生肖
十二星座