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如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意一点，PE∥AB，PF∥AC。（1）PE、PF、AB之间有什么关系？并说明理由；（2）点P在什么位置时，这个图形是轴对称图形？说明这时四边形AEPF是什么-八年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意一点，PE∥AB，PF∥AC。
（1）PE、PF、AB之间有什么关系？并说明理由；
（2）点P在什么位置时，这个图形是轴对称图形？说明这时四边形AEPF是什么图形？
题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）PE+PF=AB；理由略。
（2）P为BC得中点时，图形是轴对称图形，此时四边形AEPF为菱形。

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC，点P是BC上任意一点，PE∥AB，PF∥AC。（1）P..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称，平行四边形的性质，菱形，菱形的性质，菱形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定轴对称平行四边形的性质菱形，菱形的性质，菱形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：轴对称

  • 轴对称的定义：
    把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

  • 轴对称的性质：
    （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
    （2）对应线段相等，对应角相等；
    （3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。

  • 轴对称的判定：
    如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
    这样就得到了以下性质：
    1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　
    4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

    轴对称作用:
    可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
    可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
    扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

    轴对称的应用:
    关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
    如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
    相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

    关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
    设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c
    则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

    在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
    譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；
    矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；
    正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
    另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，
    或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

考点名称：平行四边形的性质

  • 平行四边形的概念：
    两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
    平行四边形用符号“□ABCD，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作ABCD”。
    ①平行四边形属于平面图形。
    ②平行四边形属于四边形。
    ③平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
    ④平行四边形属于中心对称图形。

  • 平行四边形的性质：
    主要性质
    （矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
    （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
    （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
    （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
    （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
    （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
    （简述为“平行四边形的邻角互补”）
    （4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
    （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
    （简述为“平行四边形的对角线互相平分”）
    （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）
    （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）
    （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
    （9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
    （10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。
    注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

    （11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
    （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
    （13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
    （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
    （15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。

考点名称：菱形，菱形的性质，菱形的判定

  • 菱形的定义:
    在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

  • 菱形的性质:
    ①菱形具有平行四边形的一切性质；
    ②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
    ③菱形的四条边都相等；
    ④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；
    ⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。

  • 菱形的判定:
    在同一平面内，
    （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
    （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
    （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
    菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。



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