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已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立-九年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。

题型：证明题  难度：偏难

答案

证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，
由题意知，OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC　
∴∠B=∠C，从而AB=AC。
（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足，
由题意知，OE=OF。
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFE。
∴∠OBE=∠OCF，
又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACD，
∴AB=AC。

（3）解：不一定成立。
注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC，如示例图

据专家权威分析，试题“已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC。（1）如..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质，三角形全等的判定，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定全等三角形的性质三角形全等的判定垂直平分线的性质

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：全等三角形的性质

  • 全等三角形：
    两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
    全等三角形的对应边相等，对应角相等。
    ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
    ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
    ③有公共边的，公共边一定是对应边;
    ④有公共角的，角一定是对应角;
    ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

  • 全等三角形的性质：
    1.全等三角形的对应角相等。
    2.全等三角形的对应边相等。
    3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
    4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
    5.全等三角形的对应边上的中线相等。
    6.全等三角形面积相等。
    7.全等三角形周长相等。
    8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

  •  

考点名称：三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理：
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

  • 三角形全等的判定公理及推论：
    (1)“边角边”简称“SAS”
    (2)“角边角”简称“ASA”
    (3)“边边边”简称“SSS”
    (4)“角角边”简称“AAS”
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

    要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
    以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
    ①S.S.S. (边、边、边)：
    各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ②S.A.S. (边、角、边)：
    各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ③A.S.A. (角、边、角)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ④A.A.S. (角、角、边)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：
    各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
    ⑥A.A.A. (角、角、角)：
    各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
    ⑦A.S.S. (角、边、边)：
    各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。
    但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

  • 解题技巧：
    一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
    因此我们可以来采取逆思维的方式。
    来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
    然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
    有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
    分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。

考点名称：垂直平分线的性质

  • 垂直平分线的概念：
    垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
    如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

  • 垂直平分线的性质：
    1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
    2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
    逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
    3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
    4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。
    （此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）

    判定：
    ①利用定义；
    ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
    （即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）

  • 尺规作法：（用圆规作图）
    1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
    2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
    3、连接这两个交点。
    原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
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