如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°。（1）求∠NMB的大小；（2）如果将图中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；（3）你发现有-八年级数学打印页面

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如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°。（1）求∠NMB的大小；（2）如果将图中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；（3）你发现有-八年级数学

[db:作者] 2020-05-20 00:00:00 零零社区

题文

如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°。

（1）求∠NMB的大小；
（2）如果将图中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
（3）你发现有什么样的规律？试证明；
（4）将∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？
题型：解答题难度：偏难

答案

解：（1）因为AB=AC，
所以∠B=∠ACB（等边对等角），
所以∠B=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
因为∠BNM=90°，所以∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°；

（2）如图①，同（1），同理可得∠BMN=35°；

（3）如图②，∠NMB的大小为∠A的一半；证明如下：
设∠A=α，
因为AB=AC，
所以∠B=∠C，
所以∠B=，
因为∠BNM=90°，所以∠BMN=90°-∠B=90°-，
即∠BMN等于顶角的一半；

（4）将∠A改为钝角，这个规律性的认识也无需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半。

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于..”主要考查你对等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定垂直平分线的性质

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

定义：
有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形中腰大于高
10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)
等腰三角形的判定：
1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：垂直平分线的性质

垂直平分线的概念：
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。
垂直平分线的性质：
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）

判定：
①利用定义；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）
尺规作法：（用圆规作图）
1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

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