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如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值-九年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。

（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状。
题型：操作题  难度：中档

答案

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P
由已知，AM=x，AN=20-x
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，
∴∠PAN=∠D=30°，
在Rt△APN中，PN=ANsin∠PAN=（20-x），
即点N到AB的距离为（20-x）
∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，
∴x的取值范围是：0≤x≤15。
（2）根据（1），S△AMN=AM·NP=x（20-x）=
∵＜0，
∴当x=10时，S△AMN有最大值
又∵S五边形BCDNM=S梯形-S△AMN，且S梯形为定值
∴当x=10时，S五边形BCDNM有最小值
当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN
则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形。

据专家权威分析，试题“如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，点M、N同时以相同..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，求二次函数的解析式及二次函数的应用，解直角三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定求二次函数的解析式及二次函数的应用解直角三角形

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

  • 求二次函数的解析式：
    最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
    （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
    （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
    （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
    （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

    二次函数的应用：
    （1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
    理解题意；
    建立数学模型；
    解决题目提出的问题。
    （2）应用二次函数求实际问题中的最值：
    即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
    求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

  • 二次函数的三种表达形式：
    ①一般式：
    y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
    把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

    ②顶点式：
    y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
    有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
    例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
    解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
    注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
    具体可分为下面几种情况：
    当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
    当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
    当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
    当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

    ③交点式：
    y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .
    已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

    由一般式变为交点式的步骤：
    二次函数
    ∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),
    ∴y=ax2+bx+c
    =a(x2+b/ax+c/a)
    =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]
    =a(x-x1)(x-x2).
    重要概念：
    a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
    a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
    a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
    能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
    能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
    能熟练地运用二次函数解决实际问题。

  • 二次函数的其他表达形式：
    ①牛顿插值公式:
    f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    双根式
    y=a(x-x1)*(x-x2)
    若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

    ③三点式
    已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）
    则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)
    与X轴交点的情况
    当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);
    当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
    Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
    X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

  • 二次函数解释式的求法：
    就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

    1.巧取交点式法：
    知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
    已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
    ①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
    例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
    点拨：
    解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
    ∵过点（2，8），
    ∴8＝a(2+2)(2-1)。
    解得a=2，
    ∴抛物线的解析式为：
    y＝2(x+2)(x-1)，
    即y＝2x2+2x-4。

    ②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
    例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
    点拨：
    在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

    2.巧用顶点式：
    顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
    ①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
    例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
    点拨：
    解∵顶点坐标为（-1，-2），
    故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。
    把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。
    ∴a=3。
    ∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

    ②典型例题二：
    如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；
    如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。
    告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
    例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
    点拨：
    析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
    由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
    ∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
    故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。
    将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．
    ∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。
    ③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
    例如：
    （1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
    （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
    （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
    （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

    ④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
    例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
    点拨：
    解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
    ∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
    ∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

考点名称：解直角三角形

  • 概念：
    在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

    解直角三角形的边角关系：
    在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
    （1）三边之间的关系：（勾股定理）；
    （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
    （3）边角之间的关系：。

  • 解直角三角形的函数值:

    锐角三角函数：
    sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a
    （1）互余角的三角函数值之间的关系：
    若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA
    （2）同角的三角函数值之间的关系：
    ①sin2A+cos2A=1
    ②tanA=sinA/cosA
    ③tanA=1/tanB
    ④a/sinA=b/sinB=c/sinC
    （3）锐角三角函数随角度的变化规律：
    锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。

  • 解直角三角形的应用：
    一般步骤是：
    （1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；
    （2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；
    （3）得到数学问题的答案；
    （4）还原为实际问题的答案。

  • 解直角三角形的函数值列举：
    sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097 sin3=0.05233595624294383
    sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816 sin6=0.10452846326765346
    sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544 sin9=0.15643446504023087
    sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448 sin12=0.20791169081775931
    sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773 sin15=0.25881904510252074
    sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474
    sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027
    sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015
    sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675
    sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994
    sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027
    sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731
    sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375
    sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582
    sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475
    sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705 sin48=0.7431448254773941
    sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708
    sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474
    sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239
    sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386
    sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678
    sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009
    sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017
    sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535
    sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683
    sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057
    sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208 sin81=0.9876883405951378
    sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733
    sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738
    sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913
    sin90=1

    cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738
    cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733
    cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378
    cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057
    cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683
    cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535
    cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017
    cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404 cos24=0.9135454576426009
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http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/161/2020-05-20/1996323.html十二生肖
十二星座