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如图，等边△ABC，G是△ABC的重心，直线AG把△ABC分成面积相等的两部分，但是不是过G点的任意一条直线都把△ABC分成面积相等的两部分？用实验或说理的方法，给予探索并得出结论。-八年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

如图，等边△ABC，G是△ABC的重心，直线AG把△ABC分成面积相等的两部分，但是不是过G点的任意一条直线都把△ABC分成面积相等的两部分？用实验或说理的方法，给予探索并得出结论。
题型：解答题  难度：中档

答案

解：不是。
理由：如图，

过G作直线EF∥AB，交AC于E、BC于F，
设直线AG与BC的交点为M，过M作MN∥EF，交AC于N。
∵G是△ABC的内心，
∴BM=MC，AG=2GM。
∵GE∥MN，
∴，即AE=AN。
∵BM=MC，即M是BC的中点，且MN∥EF∥AB，
∴MN是△ABC的中位线，即AN=NC。
∴AE=AN=NC。
设AE=2x，则AN=NC=3x，EN=x，
∴EC=NC+EN=4x，AC=AE+EC=6x。
∵EF∥AB，
∴△CMN∽△CBA，
∴=（）2=，
故S△CEF：S四边形AEFB=4：5。
因此过G点的任意一条直线不是都能把△ABC分成面积相等的两部分。

据专家权威分析，试题“如图，等边△ABC，G是△ABC的重心，直线AG把△ABC分成面积相等的两部..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的内心、外心、中心、重心，三角形的周长和面积，相似三角形的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形的内心、外心、中心、重心三角形的周长和面积相似三角形的性质

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：三角形的内心、外心、中心、重心

  • 三角形的四心定义：
    1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
    内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
    2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
    外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
    3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
    4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

  • 三角形的外心的性质：
    1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；
    2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
    3.锐角三角形的外心在三角形内；
    钝角三角形的外心在三角形外；
    直角三角形的外心与斜边的中点重合。

    在△ABC中
    4.OA=OB=OC=R
    5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
    6.S△ABC=abc/4R

    三角形的内心的性质：
    1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
    2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
    3.r=2S/(a+b+c)
    4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
    5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
    6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)

    三角形的垂心的性质:
    1.锐角三角形的垂心在三角形内；
    直角三角形的垂心在直角顶点上；
    钝角三角形的垂心在三角形外。
    2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或
    者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

    例如在△ABC中
    3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
    4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF
    5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
    6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
    7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC
    8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
    9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
    10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
    11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
    12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
    13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。
    14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
    15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

    三角形的重心的性质:
    1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
    2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
    3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
    4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；
    空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3  纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3  竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
    5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
    6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

    三角形旁心的性质:
    1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
    2、每个三角形都有三个旁心。
    3、旁心到三边的距离相等。
    三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

考点名称：三角形的周长和面积

  • 三角形的概念：
    由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

    构成三角形的元素：
    边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
    顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
    内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

    三角形有下面三个特性：
    （1）三角形有三条线段；
    （2）三条线段不在同一直线上；
    （3）首尾顺次相接。

    三角形的表示：
    用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

  • 三角形的分类：
    （1）三角形按边的关系分类如下：
    ；
    （2）三角形按角的关系分类如下：

    把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

  • 三角形的周长和面积：
    三角形的周长等于三角形三边之和。
    三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：相似三角形的性质

  • 相似三角形性质定理：
    (1)相似三角形的对应角相等。
    (2)相似三角形的对应边成比例。
    (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
    (4)相似三角形的周长比等于相似比。
    (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
    (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
    (7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项
    (8)c/d=a/b 等同于ad=bc.
    (9)不必是在同一平面内的三角形里
    ①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
    ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
    ③相似三角形周长的比等于相似比

    定理推论：
    推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
    推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
    推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
    推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
    推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
    推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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