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如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．（1）求OA、OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）小-九年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求OA、OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．
题型：解答题  难度：偏难

答案

（1）解：在矩形OABC中，设OC=x，则OA=x+2
∴x（x+2）=15
∴x1=3，x2=﹣5
∴x2=﹣5（不合题意，舍去）
∴OC=3，OA=5；
（2）证明：连接O′D；
∵在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=，
∴△0CE≌△ABE，
∴EA=EO，
∴∠1=∠2；
∵在⊙O′中，O′O=O′D，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴O′D∥AE；
∵DF⊥AE，
∴DF⊥O′D，
∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，
∴DF为⊙O′切线；
（3）解：不同意．
理由如下：
①当A0=AP时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P1和P4两点
过P1点作P1H⊥OA于点H，P1H=0C=3；
∵APl=OA=5，
∴AH=4，
∴OH=l，
求得点P1（1，3）同理可得：P4（9，3）；
②当OA=OP时，同上可求得P2（4，3），P3（﹣4，3），
∴在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P，又存在⊙O′外的点P2、P3、P4，它们分别使△AOP为等腰三角形．

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，一元二次方程的应用，全等三角形的性质，三角形全等的判定，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定一元二次方程的应用全等三角形的性质三角形全等的判定直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：一元二次方程的应用

  • 建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。

  •  

  • 列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:
    可概括为“审、设、列、解、答”五步，即：
    （1）审：是指读懂题意，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的关系；
    （2）设：是指设未知数；
    （3）列：就是列方程，这是非常重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
    （4）解：解这个方程，求出两个未知数的值；
    （5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
    提示：
    ①列方程解应用题时，要善于将普通语言化为数学语言，审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。
    ②注重解法选择与验根，在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别注意要对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性。

    常见题型公式：
    工程问题：    
    工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间  
    经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。

    利润赢亏问题 
    销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 
    有关关系式：
    商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 
    商品利润率=商品利润/商品进价            
    商品售价=商品标价×折扣率 

    存款利率问题：
    利息=本金×利率×期数      
    本息和=本金+利息      
    利息税=利息×税率（20%）

    行程问题：
    基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，
    路程=速度×时间。
    ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；
    ②追及问题：快行距－慢行距＝原距；
    ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，
    逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

考点名称：全等三角形的性质

  • 全等三角形：
    两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
    全等三角形的对应边相等，对应角相等。
    ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
    ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
    ③有公共边的，公共边一定是对应边;
    ④有公共角的，角一定是对应角;
    ⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。

  • 全等三角形的性质：
    1.全等三角形的对应角相等。
    2.全等三角形的对应边相等。
    3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
    4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
    5.全等三角形的对应边上的中线相等。
    6.全等三角形面积相等。
    7.全等三角形周长相等。
    8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

  •  

考点名称：三角形全等的判定

  • 三角形全等判定定理：
    1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
    三角形具有稳定性的原因。
    2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
    3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
    4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
    5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

  • 三角形全等的判定公理及推论：
    (1)“边角边”简称“SAS”
    (2)“角边角”简称“ASA”
    (3)“边边边”简称“SSS”
    (4)“角角边”简称“AAS”
    注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

    要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
    以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
    ①S.S.S. (边、边、边)：
    各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ②S.A.S. (边、角、边)：
    各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ③A.S.A. (角、边、角)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ④A.A.S. (角、角、边)：
    各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
    ⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：
    各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。 但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
    ⑥A.A.A. (角、角、角)：
    各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
    ⑦A.S.S. (角、边、边)：
    各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。
    但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

  • 解题技巧：
    一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
    因此我们可以来采取逆思维的方式。
    来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
    然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
    有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
    分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。

考点名称：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

  • 直线与圆的位置关系:
    直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。
    （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d<r；
    （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。
    （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d>r。（d为圆心到直线的距离）

  • 直线与圆的三种位置关系的判定与性质：
    （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定，
    如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
    直线l与⊙O相交d<r；
    直线l与⊙O相切d=r；
    直线l与⊙O相离d>r；
    （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。
    直线l与⊙O相交d<r2个公共点；
    直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；
    直线l与⊙O相离d>r无公共点 。

    圆的切线的判定和性质   
    （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
    （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

    切线长：
    在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
    切线长定理：
    从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

  • 直线与圆的位置关系判定方法:
    平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
    1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
    如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
    如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
    如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

    2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。
    令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 
    当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；
    当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交。 
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/161/2020-05-20/1996935.html十二生肖
十二星座