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如图,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,且AB=AD=CD,请你将等腰梯形分成3个三角形,使得其中有两个是相似三角形,且相似比不为1.现在请你参考示意图,另外再给出三种分割方法(注:-数学

[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

如图,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,且AB=AD=CD,请你将等腰梯形分成3个三角形,使得其中有两个是相似三角形,且相似比不为1.
现在请你参考示意图,另外再给出三种分割方法(注:在两个相似三角形中标明必要的角度.)

题型:解答题  难度:中档

答案

如图:


方案一,连接BD,作AF⊥BD于F,则△ABF∽△CBD;
方案二,连接BD,作DH⊥BC于H,则△BDH∽△DCH;
方案三,连接BD,作∠DCB的平分线交BD于G,则△BGC∽△BAD.

据专家权威分析,试题“如图,在等腰梯形ABCD中,∠B=60°,且AB=AD=CD,请你将等腰梯形分..”主要考查你对  等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,梯形,梯形的中位线,相似三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定梯形,梯形的中位线相似三角形的判定

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称:梯形,梯形的中位线

  • 梯形的定义:
    一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
    梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底,梯形中不平行的两边叫做梯形的腰,梯形的两底的距离叫做梯形的高。
    梯形的中位线:
    连结梯形两腰的中点的线段。 

  • 梯形性质:
    ①梯形的上下两底平行;
    ②梯形的中位线(两腰中点相连的线叫做中位线)平行于两底并且等于上下底和的一半。
    ③等腰梯形对角线相等。

    梯形判定:
    1.一组对边平行,另一组对边不平行的四边形是梯形。
    2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

    梯形中位线定理:
    梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。
    梯形中位线×高=(上底+下底)×高=梯形面积
    梯形中位线到上下底的距离相等
    中位线长度=(上底+下底)

    梯形的周长与面积
    梯形的周长公式:上底+下底+腰+腰,用字母表示:a+b+c+d。
    等腰梯形的周长公式:上底+下底+2腰,用字母表示:a+b+2c。
    梯形的面积公式:(上底+下底)×高÷2,用字母表示:S=(a+b)×h。
    变形1:h=2s÷(a+b);
    变形2:a=2s÷h-b;
    变形3:b=2s÷h-a。
    另一计算梯形的面积公式: 中位线×高,用字母表示:L·h。
    对角线互相垂直的梯形面积为:对角线×对角线÷2。

  • 梯形的分类


    等腰梯形:两腰相等的梯形。
    直角梯形:有一个角是直角的梯形。

    等腰梯形的性质:
    (1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
    (2)等腰梯形的对角线相等。
    (3)等腰梯形是轴对称图形。

    等腰梯形的判定:
    (1)定义:两腰相等的梯形是等腰梯形
    (2)定理:在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
    (3)对角线相等的梯形是等腰梯形。

考点名称:相似三角形的判定

  • 相似三角形:
    对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
    互为相似形的三角形叫做相似三角形。

    例如图中,若B'C'//BC,那么角B=角B',角BAC=角B'A'C',是对顶角,那么我们就说△ABC∽△AB'C'

  • 相似三角形的判定:
    1.基本判定定理
    (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
    (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
    (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
    (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
    2.直角三角形判定定理
    (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
    (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
    3.一定相似:
    (1).两个全等的三角形
    (全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
    (2).两个等腰三角形
    (两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
    (3).两个等边三角形
    (两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似) 
    (4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。

  • 相似三角形判定方法:
    证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”,那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上,而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”,那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
    一、(预备定理)
    平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。(这是相似三角形判定的定理,是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)
    二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
    三、如果两个三角形的两组对应边成比例,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 
    四、如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似
    五(定义)
    对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
    六、两三角形三边对应垂直,则两三角形相似。
    七、两个直角三角形中,斜边与直角边对应成比例,那么两三角形相似。
    八、由角度比转化为线段比:h1/h2=Sabc

    易失误
    比值是一个具体的数字如:AB/EF=2
    而比不是一个具体的数字如:AB/EF=2:1



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