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如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF=12（AB+AC）．-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F．求证：BE=CF=
1
2
（AB+AC）．

题型：解答题  难度：中档

答案



证明：过B作BN∥AC交EM延长线于N点，
∵BN∥AC，BM=CM，
∴CF：BN=CM：BM，∠CFM=∠N，
∴CF=BN，
又∵AD∥ME，AD平分∠BAC，
∴∠CFM=∠DAC=∠E，
∴∠E=∠N，
∴△BEN是等腰三角形，
∴BE=BN=CF，
∵∠EFA=∠CFM，
∴∠E=∠EFA，
∴AE=AF，
AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC，
即BE=CF=
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2
（AB+AC）．

据专家权威分析，试题“如图，AD为△ABC的角平分线，M为BC的中点，ME∥AD交BA的延长线于E，..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定三角形中位线定理

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

考点名称：三角形中位线定理

  • 三角形中位线定义：
    连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
    三角形中位线定理：
    三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

    如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
    则DE平行于BC且等于BC/2

  • 三角形中位线逆定理：

    逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
    如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
    逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
    如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2

  • 区分三角形的中位线和中线：
    三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
    三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。
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