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在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA=12∠ACB，DE与AB相交于点F．（1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA=
1
2
∠ACB，DE与AB相交于点F．
（1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．


题型：解答题  难度：中档

答案




（1）猜想BE=
1
2
FD，
证明：如图，延长CA、BE相交于G，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵∠EBA=
1
2
∠ACB，
∴∠EBA=22.5°，
∴∠GBC=67.5°，
∴∠G=67.5°，
∴∠G=∠GBC，
∴CG=BC，
∵CE⊥BE，
∴∠ACE=
1
2
∠ACB，BE=
1
2
BG，
∴∠ACE=∠EBA．
在△ABG和△ACF中

∠GAB=∠FAC
AB=AC
∠ABG=∠ACF
，
∴△ABG≌△ACF（ASA），
∴BG=CF
∴BE=
1
2
FC，
即BE=
1
2
FD．

（2）成立，
理由是：过D作DH∥CA交BA于M，交BE的延长线于H，
则∠BMD=∠A=90°，∠MDB=∠C=45°，
∴∠MBD=∠MDB=45°，
∴MB=MD，
∵∠EBA=
1
2
∠ACB，
∴∠EBA=
1
2
∠MDB=22.5°，
∴∠HBD=∠H=67.5°，
∴DB=DH，
∵DE⊥BE，
∴∠HDE=
1
2
∠HDB，BE=
1
2
BH，
∴∠HBM=∠FDM，
在△HMA和△FMD中

∠BMH=∠DMF
MB=MD
∠HBM=∠FDM

∴△HMA≌△FMD（ASA）
∴BH=DF，
∴BE=
1
2
FD．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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