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如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．（1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．（2）在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．
（2）在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？并请给予写出．
（3）过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．


题型：解答题  难度：中档

答案

（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵在△BED和△CFD中

∠B=∠C
∠DEB=∠DFC
BD=CD
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）


有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD，
∵由（1）知△BED≌△CFD，
∴DE=DF，BE=CF，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中

AD=AD
AE=AF
DE=DF
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∵在△ADB和△ADC中

AB=AC
AD=AD
BD=CD

∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；


（3）CG=DE+DF
证明：连接AD，
∵S三角形ABC=S三角形ADB+S三角形ADC，
∴
1
2
AB×CG=
1
2
AB×DE+
1
2
AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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