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在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，它们所在的直线相交于H．（1）若∠BAC=45°（如图①），求证：AH=2BD；（2）若∠BAC=135°（如图②），（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，它们所在的直线相交于H．
（1）若∠BAC=45°（如图①），求证：AH=2BD；
（2）若∠BAC=135°（如图②），（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论．


题型：解答题  难度：中档

答案



证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD．
∵CE⊥AB，∠BAC=45°，
∴∠ECA=45°．
∴AE=CE．
又AD⊥BC，CE⊥AB，
可得∠EAH=∠ECB，
在△AEH和△CEB中，

∠EAH=∠ECB
AE=CE
∠AEH=∠BEC

∴△AEH≌△CEB（ASA）．
∴AH=BC．
∴AH=2BD．

（2）答：（1）中结论依然成立．
所画图形如图所示．延长BA交HC于E．
∵∠BAC=135°，
∴∠CAE=45°．
∵AE⊥HC，
∴∠ACE=∠CAE=45°．
∴AE=CE．
∵HD⊥BC，BE⊥HC，
可得∠B=∠H．
在Rt△BEC和Rt△HEA中，

∠B=∠H
∠EC=∠HEA
CE=AE

∴Rt△BEC≌Rt△HEA（AAS）．
∴AH=BC．
又BC=2BD，
∴AH=2BD．

据专家权威分析，试题“在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，它们所在的直线相交于H．（1）若∠BAC..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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