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已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．（1）求证：∠AFB=90°；（2）求证：△ADC≌△AEC；（3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC的中点．
（1）求证：∠AFB=90°；
（2）求证：△ADC≌△AEC；
（3）连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并证明．

题型：解答题  难度：中档

答案

（1）证明：∵BA=BC，F是AC的中点（已知），
∴BF⊥AC（等腰三角形的三线合一）．（1分）
∴∠AFB=90°（垂直的定义）．（1分）

（2）证明：∵AE⊥BC（已知），
∴∠AEC=90°（垂直的定义）．
∵∠ADC=90°（已知），
∴∠ADC=∠AEC（等量代换）．（1分）
∵DC∥AB（已知），
∴∠DCA=∠CAB（两直线平行，内错角相等）．
∵BA=BC（已知），
∴∠ECA=∠CAB（等边对等角）．
∴∠DCA=∠ECA（等量代换）．（1分）
在△ADC和△AEC中，

∠ADC=∠AEC(已证)
∠DCA=∠ECA(已证)
AC=AC(公共边)

∴△ADC≌△AEC（AAS）．（1分）

（3）DE与BF平行．（1分）
证明：设DE交AC于点H，
∵△ADC≌△AEC（已证），
∴AD=AE，∠DAH=∠EAH（全等三角形对应边相等、对应角相等）．（1分）
∴BH⊥DE（等腰三角形的三线合一）．（1分）
∴∠AHE=90°（垂直的定义）
∵∠AFB=90°（已证），
∴∠AFB=∠AHE（等量代换）．（1分）
∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）．

据专家权威分析，试题“已知：如图，∠ADC=90°，DC∥AB，BA=BC，AE⊥BC，垂足为点E，点F为AC..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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