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如图1，在?ABCD中，AD=a，AB=3a，a为定值，线段AD绕着点A旋转，旋转时∠DAB为锐角，经过A、D、B三点的圆⊙O和边CD相交于点F，点F不与点D重合．（1）求∠DAB的范围；（2）如果AD旋转到-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

如图1，在?ABCD中，AD=a，AB=

3
a，a为定值，线段AD绕着点A旋转，旋转时∠DAB为锐角，经过A、D、B三点的圆⊙O和边CD相交于点F，点F不与点D重合．
（1）求∠DAB的范围；
（2）如果AD旋转到使得AB刚好成为⊙O的直径（如图2所示），请你验证此时∠DAB的度数在第（1）问所求的范围内，并证明：此时点F恰好是DC的一个三等分点．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）连接DB，
当F与D重合时，此时CD与圆相切．
∴∠CDB=∠DAB，
∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ADB是等腰三角形，底为根号

3
a，腰为a
∴cos∠DAB=

3
a
2
a
=

3
2
，
∴∠DAB=30°，
即∠DAB的范围为：30°＜∠DAB＜90°．

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径r=
1
2
AB=

3
2
a
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=
AD
AB
=
1

3
=

3
3
＜

3
2
，
∴∠DAB在30°＜∠DAB＜90°的范围内．
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=

3
a-2a×

3
3
=

3
3
a=
1
3
AB=
1
3
CD，
∴此时点F恰好是DC的一个三等份点．

据专家权威分析，试题“如图1，在?ABCD中，AD=a，AB=3a，a为定值，线段AD绕着点A旋转，旋..”主要考查你对  等腰三角形的性质，等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

考点名称：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

  • 定义：
    有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质：
    1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
    2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
    7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定：
    1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
    3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。
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