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在平面直角坐标中,Rt△OAB的两顶点A,B分别在y轴,x轴的正半轴上,点O是原点.其中点A(0,3),B(4,0),OC是Rt△OAB的高,点P以每秒1个单位长的速度在线段OB上由点O向点B运动(-数学

[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

在平面直角坐标中,Rt△OAB的两顶点A,B分别在y轴,x轴的正半轴上,点O是原点.其中点A(0,3),B(4,0),OC是Rt△OAB的高,点P以每秒1个单位长的速度在线段OB上由点O向点B运动(与端点不重合),过点P作PD⊥AP交AB于点D,设运动时间为t秒.
(1)若△AOE的面积为
3
2
,求点E的坐标;
(2)求证:△AOE∽△PBD;
(3)△PBD能否是等腰三角形?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;
(4)当t=3时,直接写出此时
AE
EP
的值.
题型:解答题  难度:中档

答案

(1)过点E作EF⊥OA于点F,
∵△AOE的面积为
3
2
,OA=3,
∴EF=1;
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC,
∠EFO=∠AOB=90°,
∴△OEF∽△BAO,
EF
AO
=
OF
BO
,即
1
3
=
OF
4
,所以OF=
4
3

∴点E的坐标为(1,
4
3
).

(2)证明:∵Rt△OAB中,OC为斜边AB边上的高,
∴∠EOA+∠OAC=90°,∠DBP+∠OAC=90°,
∴∠EOA=∠DBP,
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC,
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB,
∴△AOE∽△PBD.

(3)△PBD可以是等腰三角形,
∵∠PDB=90°+∠PAB>90°,
∴如果△PBD是等腰三角形,∠PDB只能顶角,即DP=DB,
当△PDB是等腰三角形,∵△AOE∽△PBD,
∴△AOE是等腰三角形,且EA=EO;
过点E作EF⊥AO于点F,则AF=OF=
3
2

∵△OEF∽△BAO,
EF
AO
=
OF
BO
,即
EF
3
=
3
2
4
,所以EF=
9
8

∵△AFE∽△AOP,
AF
AO
=
EF
PO
,即
3
2
3
=
9
8
t
,所以t=
9
4

∴当△PBD是等腰三角形时,t=
9
4


(4)当t=3时,
AE
EP
=
3
4

据专家权威分析,试题“在平面直角坐标中,Rt△OAB的两顶点A,B分别在y轴,x轴的正半轴上..”主要考查你对  等腰三角形的性质,等腰三角形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

考点名称:等腰三角形的性质,等腰三角形的判定

  • 定义:
    有两条边相等的三角形,是等腰三角形,相等的两条边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角。

  • 等腰三角形的性质:
    1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
    2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
    3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
    4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
    5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
    6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
    7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
    8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
    9.等腰三角形中腰大于高
    10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

  • 等腰三角形的判定:
    1.定义法:在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形。
    2.判定定理:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
    3.顶角的平分线,底边上的中分线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。



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