如图1，△ABC为等边三角形，面积为S，D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE2=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的-九年级数学打印页面

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S，D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE2=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=S，△D1E1F1的-九年级数学

[db:作者] 2020-05-20 00:00:00 互联网

题文

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S，D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₂=CF₁=AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=S，△D₁E₁F₁的面积S₁=S。
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=_______；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=______；
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=_______；
若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=________。

题型：解答题难度：偏难

答案

解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由已知得AD₂=AB，BE₂=BC，CF₂=AC，
∴AF₂=AC，BD₂=AB，
∴AD₂=BE₂，AF₂=BD₂，
△AD₂F₂≌△BE₂D₂，
∴D₂E₂=F₂D₂，
同理可证△AD₂F₂≌△CF₂E₂
F₂D₂=E₂F₂，
∴D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂，
∴△D₂E₂F₂为等边三角形；
②S₂=S；S′₂=S；
（2）由（1）可知：△D_nE_nF_n等边三角形；
由（1）的方法可知：S₂=S，S₃=S，…S_n=S；
S₂′=。

据专家权威分析，试题“如图1，△ABC为等边三角形，面积为S，D1、E1、F1分别是△ABC三边上..”主要考查你对等边三角形，探索规律，全等三角形的性质等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形探索规律全等三角形的性质

考点名称：等边三角形

等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
1.三边长度相等；
2.三个内角度数均为60度；
3.一个内角为60度的等腰三角形。
性质：
①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
判定方法：
①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质与判定理解：
首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等比三角形的尺规做法：
可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：探索规律

探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键。
（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；
（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。
探索规律题题型和解题思路:
1.探索条件型:结论明确,需要探索发现使结论成立的条件的题目;
探索条件型往往是针对条件不充分、有变化或条件的发散性等情况，解答时要注意全面性，类似于讨论；解题应从结论着手，逆推其条件，或从反面论证，解题过程类似于分析法。

2.探索结论型:给定条件,但无明确的结论或结论不唯一,而要探索发现与之相应的结论的题目;
探索结论型题的特点是结论有多种可能，即它的结论是发散的、稳定的、隐蔽的和存在的；
探索结论型题的一般解题思路是：
（1）从特殊情形入手，发现一般性的结论；
（2）在一般的情况下，证明猜想的正确性；
（3）也可以通过图形操作验证结论的正确性或转化为几个熟悉的容易解决的问题逐个解决。
3.探索规律型:在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目；
图形运动题的关键是抓住图形的本质特征，并仿照原题进行证明。在探索递推时，往往从少到多，从简单到复杂，要通过比较和分析，找出每次变化过程中都具有规律性的东西和不易看清的图形变化部分。

4.探索存在型:在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.而且探索题往往也是分类讨论型的习题,无论从解题的思路还是书写的格式都应该让学生明了基本的规范,这也是数学学习能力要求。
探索存在型题的结论只有两种可能：存在或不存在；
存在型问题的解题步骤是：
①假设存在；
②推理得出结论（若得出矛盾，则结论不存在；若不得出矛盾，则结论存在）。
解答探索题型，必须在缜密审题的基础上，利用学具，按照要求在动态的过程中，通过归纳、想象、猜想，进行规律的探索，提出观点与看法，利用旧知识的迁移类比发现接替方法，或从特殊、简单的情况入手，寻找规律，找到接替方法；解答时要注意方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想在解题中的应用；因此其成果具有独创性、新颖性，其思维必须严格结合给定条件结论，培养了学生的发散思维，这也是数学综合应用的能力要求。

考点名称：全等三角形的性质

全等三角形：
两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;
②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;
③有公共边的，公共边一定是对应边;
④有公共角的，角一定是对应角;
⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。
全等三角形的性质：
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。

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