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已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为（1，2），（1，1），（3，1）。（1）求E点和A点的坐标；（2）试以点P（0，2）为位似中心，作出相-九年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其B，C，D点的坐标分别为（1，2），（1，1），（3，1）。

（1）求E点和A点的坐标；
（2）试以点P（0，2）为位似中心，作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1，并写出各对应点的坐标；
（3）将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后，再作关于x轴的对称图形，得到图形A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少?
题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）；
（2），B1（3，2），C1（3，-1），D1（9，-1），E1（9，2），图“略”。
（3），B2（7，-2），C2（7，1），D2（13，1），E2（13，-2）。

据专家权威分析，试题“已知：如下图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其..”主要考查你对  等边三角形，轴对称，矩形，矩形的性质，矩形的判定，位似，平移  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形轴对称矩形，矩形的性质，矩形的判定位似平移

考点名称：等边三角形

  • 等边三角形定义：
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
    1.三边长度相等；
    2.三个内角度数均为60度；
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质：
    ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
    ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法：
    ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
    ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解：
    首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
    其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法：
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称：轴对称

  • 轴对称的定义：
    把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

  • 轴对称的性质：
    （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
    （2）对应线段相等，对应角相等；
    （3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。

  • 轴对称的判定：
    如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
    这样就得到了以下性质：
    1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　
    4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

    轴对称作用:
    可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
    可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
    扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

    轴对称的应用:
    关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
    如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
    相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

    关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
    设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c
    则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

    在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
    譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；
    矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；
    正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
    另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，
    或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

  • 矩形:
    是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

  • 矩形的性质：
    1．矩形的4个内角都是直角；
    2．矩形的对角线相等且互相平分；
    3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
    4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
    5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
    6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

  • 矩形的判定：
    ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
    ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
    ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
    ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
    矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。

  • 黄金矩形:
    宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
    黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

考点名称：位似

  • 位似图形：
    如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。
    注：
    ①位似图形是相似图形的特例；
    ②位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形；
    ③位似图形的对应边互相平行或共线。

  • 位似图形的性质：
    位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。 
    1.位似图形对应线段的比等于相似比。
    2.位似图形的对应角都相等。
    3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
    4.位似图形面积的比等于相似比的平方。
    5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
    6.位似图形对应边互相平行或在同一直线上。

  • 位似图形作用：
    利用位似可以将一个图形任意放大或缩小。
    位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
    根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
    作图步骤：（位似比，即位似图形的相似比，指的是要求画的新图形与参照的原图形的相似比）
    ①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
    ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
    ③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
    ④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。

    位似变换：
    把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。
    物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
    位似变换应用极为广泛，特别是可以证明三点共线等问题。

考点名称：平移

  • 定义：
    将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。

  • 平移基本性质：
    经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
    平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
    （1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
    （2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等
    （3）多次连续平移相当于一次平移。
    （4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
    （5）平移是由方向和距离决定的。
    这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移
    平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。

    平移的三个要点
    1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
    2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
    3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）

    平移作用：
    1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。
    2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。

  • 平移作图的步骤：
    （1）找出能表示图形的关键点；
    （2）确定平移的方向和距离；
    （3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；
    （4）按原图的顺序，连结各对应点。



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