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已知等边△ABC的边长为3个单位,若点P由A出发,以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动,第一次回到点A处停止运动,设AP=S,用t表示运动时间.(1)当点P由B到C运动-九年级数学

[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

已知等边△ABC的边长为3个单位,若点P由A出发,以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动,第一次回到点A处停止运动,设AP=S,用t表示运动时间.
(1)当点P由B到C运动的过程中,用t表示S;
(2)当t取何值时,S等于(求出所有的t值);
(3)根据(2)中t的取值,直接写出在哪些时段AP

题型:解答题  难度:中档

答案

解:(1)∵AB=3,BP=t﹣3;
∴AP2=32+(t﹣3)2﹣2×3(t﹣3)×cos60°
=9+9﹣6t+t2﹣6(t﹣3)×
=18﹣6t+t2+9﹣3t
=t2﹣9t+27,
∴S=
(2)∵S=
∴t2﹣9t+27=7,
解得t1=4,t2=5;
(3)由(2)∵S2=开口向上,
与S=交点横坐标为t1=4,t2=5;
∴AP时,
∴4<t<5.

据专家权威分析,试题“已知等边△ABC的边长为3个单位,若点P由A出发,以每秒1个单位的速..”主要考查你对  等边三角形,一元二次方程的应用,勾股定理  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等边三角形一元二次方程的应用勾股定理

考点名称:等边三角形

  • 等边三角形定义:
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
    1.三边长度相等;
    2.三个内角度数均为60度;
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质:
    ①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
    ③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法:
    ①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
    ②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解:
    首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
    其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法:
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

考点名称:一元二次方程的应用

  • 建立一元二次方程模型进行求解,把得到的答案带回实际问题中检验是否合理,来解决实际问题,如打折、营销、增长率问题等。

  •  

  • 列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:
    可概括为“审、设、列、解、答”五步,即:
    (1)审:是指读懂题意,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的关系;
    (2)设:是指设未知数;
    (3)列:就是列方程,这是非常重要的一步,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示等量关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程;
    (4)解:解这个方程,求出两个未知数的值;
    (5)答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案。
    提示:
    ①列方程解应用题时,要善于将普通语言化为数学语言,审题时,要特别注意关键词语,如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等,此外,还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。
    ②注重解法选择与验根,在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简单流畅,特别注意要对方程的解进行检验,根据实际情况作出正确取舍,以保证结论的准确性。

    常见题型公式:
    工程问题:    
    工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间  
    经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位1。

    利润赢亏问题 
    销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等 
    有关关系式:
    商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 
    商品利润率=商品利润/商品进价            
    商品售价=商品标价×折扣率 

    存款利率问题:
    利息=本金×利率×期数      
    本息和=本金+利息      
    利息税=利息×税率(20%)

    行程问题:
    基本数量关系:路程=速度×时间,时间=路程÷速度,速度=路程÷时间,
    路程=速度×时间。
    ①相遇问题:快行距+慢行距=原距;
    ②追及问题:快行距-慢行距=原距;
    ③航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度,
    逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度

考点名称:勾股定理

  • 勾股定理:
    直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么
    勾股定理只适用于直角三角形,应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

  • 定理作用
    ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
    ⑵勾股定理导致不可通约量的发现,从而深刻揭示了数与量的区别,即所谓“无理数"与有理数的差别,这就是所谓第一次数学危机。
    ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
    ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程,也是最早得出完整解答的不定方程,它一方面引导到各式各样的不定方程,包括著名的费尔马大定理,另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

  • 勾股定理的应用:
    数学
    从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等,运用勾股定理数学家还发现了无理数。
    勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛,较早的应用案例有《九章算术》中的一题:“今有池,芳一丈,薛生其中央,出水一尺,引薛赴岸,适与岸齐,问水深几何?答曰:"一十二尺"。

    生活
    勾股定理在生活中的应用也较广泛,举例说明如下:
    1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例,最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积,从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕,也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点:
    第一,屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6;
    第二,屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度;
    第三,屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
    屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3,教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕,根据勾股定理,很快就能得出屏幕的宽为1.5m,高为1.1m。
    2、2005年珠峰高度复测行动。
    测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法,就是把高程引到珠峰脚下,当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程,配合水准测量、三角测量、导线测量等方式,获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算,最终得到珠峰高程的有效数据。
    通俗来说,就是分三步走:
    第一步,先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点,先把这些点的精确高程确定下来;
    第二步,在珠峰峰顶架起觇标,运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理,推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差;
    第三步,获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算,最终确定珠峰高程测量的有效数据。



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