（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点-数学打印页面

（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点-数学

[db:作者] 2020-05-20 00:00:00 零零社区

题文

（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．

题型：解答题难度：中档

答案

（1）证明：延长FD到G使GD=DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵在△BDG和△CDF中，
BD=DC
∠FDC=∠BDG
DG=DF

∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG=FC，∠C=∠GBD，
∵ED⊥DF，
∴EG=EF，
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠GBD=90°，
即∠EBG=90°，
∴线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，
∵BG=FC，EG=EF
∴线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；

（2）当线段FC=BE时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，
证明：延长FD到W使WD=DF，连接BW，EW，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵在△BDW和△CDF中
BD=DC
∠BDW=∠CDF
DW=DF

∴△BDW≌△CDF（SAS），
∴BW=FC，∠C=∠WBD
∵ED⊥DF
∴EW=EF，
∵∠A=120°，
∴∠ABC+∠C=60°，
∴∠ABC+∠WBD=60°，
即∠EBW=60°，
∴当线段BG=BE（或BE=EG，BG=GE）时，BE、BG、EG能构成一个等边三角形；
∵EG=EF，BG=FC
∴当线段FC=BE（或BE=EF，EF=FC）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形．

据专家权威分析，试题“（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为..”主要考查你对等边三角形等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
1.三边长度相等；
2.三个内角度数均为60度；
3.一个内角为60度的等腰三角形。
性质：
①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
判定方法：
①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质与判定理解：
首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等比三角形的尺规做法：
可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

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