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已知:在△ABC中,∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P.(1)当△ABC为等边三角形(如图1)时,求证:EP=DP;(2)当△ABC不是等边三角形,但∠ACB=60°(如图2)时,(2)中的结论是否还成立?若-数学

[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  互联网

题文

已知:在△ABC中,∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P.
(1)当△ABC为等边三角形(如图1)时,求证:EP=DP;
(2)当△ABC不是等边三角形,但∠ACB=60°(如图2)时,(2)中的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.


题型:解答题  难度:中档

答案

证明:(1)∵△ABC为等边三角形,AD平分∠CAB,∴PD⊥BC,(1分)
同理,PE⊥AC,
作PH⊥AB于H,(1分)
∵AD平分∠CAB,PE⊥AC,∴PE=PH(1分)
同理PD=PH
∴PD=PE(1分)

(2)EP=DP依然成立.(1分)
证明:不妨设∠CAB<∠CBA
作PH⊥AC于H,PM⊥CB于M,PQ⊥AB于Q,
则点H在线段CE上,点M在线段BD上
∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,∴PH=PQ=PM,(1分)
∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°,∠ACB=60°,
∴∠CAB+∠ABC=120°,(1分)
∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC,
∴∠PAB+∠PBA=60°,(1分)
∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°,
∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°,
∴∠CEP=∠ADB,(1分)
在△PHE和△PMD中,∠HEP=∠MDP,∠EHP=∠DMP=90°,PH=PM,
∴△PHE≌△PMD,(1分)
∴PE=PD
(不同方法请相应给分)

据专家权威分析,试题“已知:在△ABC中,∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P.(1)当△ABC为等..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

等边三角形

考点名称:等边三角形

  • 等边三角形定义:
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:
    1.三边长度相等;
    2.三个内角度数均为60度;
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质:
    ①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)
    ③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法:
    ①三边相等的三角形是等边三角形(定义)
    ②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解:
    首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。
    其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法:
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。



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