等边△OAB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）直接写出点B的坐标；（2）当a=30°时，求△OAB与△OA1B1重合部分（图2中的阴-数学打印页面

等边△OAB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）直接写出点B的坐标；（2）当a=30°时，求△OAB与△OA1B1重合部分（图2中的阴-数学

[db:作者] 2020-05-20 00:00:00 零零社区

题文

等边△OAB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）当a=30°时，求△OAB与△OA₁B₁重合部分（图2中的阴影部分）的面积；
（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，求a的值；
（4）当60＜a＜180时，设直线A₁B₁与BA相交于点P，PA、PB₁的长是方程x²-mx+m=0的两个实数根，求此时点P的坐标．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）B的坐标是（1，
3
）；（1分）

（2）图2中的阴影部分的面积=S_△OAN-S_△OAM
=
1
2
×1×
3
-
1
2
×(2-
3
)×(2-
3
)
3

=6-3
3
；（3分）

（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，A₁B₁∥x轴，
∴a₁=120°或a₂=300°；（5分）

（4）连接AB₁，

∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁（6分）
∴方程x²-mx+m=0的两个相等实数根，（7分）
△=（-m）²-4m=0
m₁=0（舍去），m₂=4（8分）
方程为：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2（9分）
在直角△APM中，PM=AP?sin60°=2×
3
2
=
3
，
AM=AP?cos60°=1，则OM=OA-AM=3-1=2．
∴P点坐标为（3，-
3
）（10分）

据专家权威分析，试题“等边△OAB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺..”主要考查你对等边三角形等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
1.三边长度相等；
2.三个内角度数均为60度；
3.一个内角为60度的等腰三角形。
性质：
①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
判定方法：
①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质与判定理解：
首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等比三角形的尺规做法：
可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

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