已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．（1）请写出h与h1、h2、h3的关系式，并说明理由；（2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系-数学打印页面

已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．（1）请写出h与h1、h2、h3的关系式，并说明理由；（2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系-数学

[db:作者] 2020-05-20 00:00:00 零零社区

题文

已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．

（1）请写出h与h₁、h₂、h₃的关系式，并说明理由；
（2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系吗？
（3）若点P在三角形外，仍有上述关系吗？若有，请你证明，若没有，请你写出它们新的关系式，并给予证明．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）连接PA，PB，PC，
则S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴
1
2
BC?h=
1
2
AB?h₁+
1
2
AC?h₂+
1
2
BC?h₃，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂+h₃；

（2）仍有h=h₁+h₂+h₃；
理由：如图：设P在AC上，则h₂=0，
连接PB，
则S_△ABC=S_△PBC+S_△PAB，
∴
1
2
BC?h=
1
2
AB?h₁+
1
2
BC?h₃，
∵△ABC是等边三角形，
AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₃；
即h=h₁+h₂+h₃；

（3）h=h₁+h₂-h₃．
连接PA，PB，PC，
则S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB，
∴
1
2
BC?h=
1
2
AB?h₁+
1
2
AC?h₂-
1
2
BC?h₃，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂-h₃．

据专家权威分析，试题“已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h1、..”主要考查你对等边三角形等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

等边三角形定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
1.三边长度相等；
2.三个内角度数均为60度；
3.一个内角为60度的等腰三角形。
性质：
①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。
④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
判定方法：
①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质与判定理解：
首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

等比三角形的尺规做法：
可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

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