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如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=12AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=______；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD-数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
1
2
AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=______；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
1
3
AB，则△D2E2F2的面积S2=______；按照这样的思路探索下去，Dn，En，Fn分别是△ABC三边上的点，且
ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB，则Sn=______．
题型：填空题  难度：中档

答案

∵△ABC为正三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD1=BE1=CF1=
1
2
AB，
∴BD1=CE1=AF1=
1
2
AB，
∴△AD1F1≌△BD1E1≌△CE1F1，
设等边△ABC的边长为a，
则S=
1
2
a2sin60°，
△AD1F1的面积=
1
2
×
1
2
a?
1
2
a?sin60°=
1
4
S，
∴△D1E1F1的面积S1=S-3×
1
4
S=
1
4
S；

同理，AD2=BE2=CF2=
1
3
AB时，
BD2=CE2=AF2=
2
3
AB，
△AD2F2的面积S2=
1
2
×
1
3
a?
2
3
a?sin60°=
2
9
S，
△D2E2F2的面积S2=S-3×
2
9
S=
1
3
S；

ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB时，
BDn=CEn=AFn=
n
n+1
AB，
△ADnFn的面积=
1
2
×
1
n+1
a?
n
n+1
a?sin60°=
n
(n+1)2
S，
△DnEnFn的面积Sn=S-3×
n
(n+1)2
S=
n2-n+1
(n+1)2
S．
故答案为：
1
4
S，
1
3
S，
n2-n+1
(n+1)2
S．

据专家权威分析，试题“如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点..”主要考查你对  等边三角形  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

等边三角形

考点名称：等边三角形

  • 等边三角形定义：
    三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。
    如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：
    1.三边长度相等；
    2.三个内角度数均为60度；
    3.一个内角为60度的等腰三角形。

  • 性质：
    ①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
    ②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
    ③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。
    ④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）
    ⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

  • 判定方法：
    ①三边相等的三角形是等边三角形（定义）
    ②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
    ③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
    ④ 两个内角为60度的三角形是等边三角形
    说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

    等边三角形的性质与判定理解：
    首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
    其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

    等比三角形的尺规做法：
    可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。
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