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阅读：如图（1），在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a<6），B、Ｃ、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合，连接AE、FC，我们可以借助于S△ACE和S△FCE的大小关系-九年级数学
[db:作者]  2020-05-20 00:00:00  零零社区

题文

阅读：如图（1），在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a<6），B、Ｃ、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合，连接AE、FC，我们可以借助于S△ACE和S△FCE的大小关系证明不等式：a2+b2> 2ab（b>a>0）
证明过程如下：
∵BC=b，BE=a，EC=b-a，
∴S△ACE=EC·AB=（b-a）a，
∴S△FCE=EC·FE=（b-a）b，
∵b>a>0，
∴S△FCE >S△ACE，
即（b-a）b>（b-a）a，
∴b2-ab>ab-a2
∴a2+b2>2ab。
解决下列问题：
（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BD=k（b-a），且0≤k≤1，如图（2），当BD=EC时，k=____，利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a2+b2>2ab（b >a>0）；
（2）用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式请你画出一个示意图，并简要说明理由。


                 （1）                                  （2）

题型：解答题  难度：中档

答案

解：（1）k=，
证明：如图（1），连接AD、BF，
可得BD=（b-a），
∴S△ABD=BD·AB=××（b-a）·a=a（b-a），
S△FBD=BD·FE=××（b-a）·b=b（b-a），
∵b>a>0，
∴S△ABD<S△FBD
即<
∴ab-a2<b2-ab
∴a2+b2>2ab，
 （2）答案不唯一，
举例：如图（2），理由：
延长BA、FE交于点I，
∵b>a >0，
∴S矩形IBDE> S矩形ABDG，
即b（b-a）>a（b-a），
∴b2-ab> ab-a2
∴a2+b2 >2ab，
举例：如图（3），理由：
四个直角三角形的面积和S1=4×ab=2ab，
大正方形的面积S2=a2+b2
∵b>a>0，
∴S2>S1
∴a2+b2>2ab。

据专家权威分析，试题“阅读：如图（1），在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=..”主要考查你对  三角形的周长和面积，矩形，矩形的性质，矩形的判定  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形的周长和面积矩形，矩形的性质，矩形的判定

考点名称：三角形的周长和面积

  • 三角形的概念：
    由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

    构成三角形的元素：
    边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
    顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
    内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

    三角形有下面三个特性：
    （1）三角形有三条线段；
    （2）三条线段不在同一直线上；
    （3）首尾顺次相接。

    三角形的表示：
    用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。

  • 三角形的分类：
    （1）三角形按边的关系分类如下：
    ；
    （2）三角形按角的关系分类如下：

    把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

  • 三角形的周长和面积：
    三角形的周长等于三角形三边之和。
    三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

  • 矩形:
    是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

  • 矩形的性质：
    1．矩形的4个内角都是直角；
    2．矩形的对角线相等且互相平分；
    3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
    4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
    5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
    6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

  • 矩形的判定：
    ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
    ②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
    ③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
    ④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
    矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。

  • 黄金矩形:
    宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
    黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/163/2020-05-20/1991616.html十二生肖
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