如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形-数学打印页面

如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形-数学

[db:作者] 2020-05-22 00:00:00 互联网

题文

如图，ABCD是面积为a²的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接A₁B₁C₁D₁各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，重复同样的方法直到得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为______．
题型：填空题难度：中档

答案

连接AC，BD．
∵四边形A₁B₁C₁D₁是顺次连接各中点得到的，
∴
BA1
BA
=
BB1
BC
=
A1B1
AC
=
1
2
，
故△BB₁A_I∽△BCA，相似比为
1
2
，面积比为
1
4
，即S_△BB1AI=
1
4
S_△BCA，
同理可得S_△DD1C1=
1
4
S_△DAC，即S_△BB1AI+S_△DD1C1=
1
4
（S_△DAC+S_△BCA）=
1
4
S_{四边形ABCD}，
同理可得S_△CC1B1+S_△AA1D1=
1
4
S_{四边形ABCD}，故
S_△BB1AI+S_△DD1C1+S_△CC1B1+S_△AA1D1=
1
2
S_{四边形ABCD}，
则S_{四边形A1B1C1D1}=
1
2
S_{四边形ABCD}=
a2
2
，
同理可得第二个小四边形的面积为
1
2
×
a2
2
即
a2
22
．
第三个面积为
a2
23
，以此类推第n个四边形的面积为
a2
2n
．

据专家权威分析，试题“如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形..”主要考查你对三角形中位线定理等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

三角形中位线定义：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
则DE平行于BC且等于BC/2
三角形中位线逆定理：

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2
区分三角形的中位线和中线：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

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