如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H．（1）求证：CF=2DH；（2）若AB=BC，cos∠BCA=35，DE=4，求HD的长．-数学打印页面

如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H．（1）求证：CF=2DH；（2）若AB=BC，cos∠BCA=35，DE=4，求HD的长．-数学

[db:作者] 2020-05-22 00:00:00 互联网

题文

如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H．
（1）求证：CF=2DH；
（2）若AB=BC，cos∠BCA=
3
5
，DE=4，求HD的长．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）证明：取AF的中点M，连接MD，
∵AD=DC，
∴CF=2MD，且MD∥BC，
∴∠DMH=∠BFH，
又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG，
∴∠BHG=∠BFH，
而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，
∴∠DMH=∠DHM，
∴DH=DM．而CF=2MD，
∴CF=2DH；

（2）过E作EN⊥BC于N，
∵AB=BC，AD=DC，
∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC，
∴EN=DE=4，
在Rt△CEN中，cos∠BCA=
CN
CE
=
3
5
，
∴设CN=3k，则CE=5k，得EN=4k=4．
∴k=1，CE=5，CD=9，
在Rt△BCD中，cos∠BCA=
CD
BC
=
3
5
，
∴BC=15，BD=12，
又∵∠BHG=∠BFH，
∴BH=BF，
设DH=x，则FC=2x，BH=12-x，BF=15-2x．
由12-x=15-2x，得x=3，
∴HD=3．

据专家权威分析，试题“如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、..”主要考查你对三角形中位线定理等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

三角形中位线定义：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
则DE平行于BC且等于BC/2
三角形中位线逆定理：

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2
区分三角形的中位线和中线：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

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