如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．-数学打印页面

如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．-数学

[db:作者] 2020-05-22 00:00:00 互联网

题文

如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．
求证：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．
题型：解答题难度：中档

答案

证明：（1）连接AF，BG，
∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，
∴AF⊥BD，BG⊥AE．
在直角三角形AFB中，
∵H是斜边AB中点，
∴FH=
1
2
AB．
同理得HG=
1
2
AB，
∴FH=HG．

（2）∵FH=BH，
∴∠HFB=∠FBH；
∵∠AHF是△BHF的外角，
∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH；
同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH，
∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．
又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD，
=180°-2∠ADB，
=180°-2（∠BFH+∠AGH），
=180°-2∠BFH-2∠AGH，
=180°-∠AHF-∠BHG，
而根据平角的定义可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG，
∴∠FHG=∠DAC．

据专家权威分析，试题“如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE..”主要考查你对三角形中位线定理等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

三角形中位线定理

考点名称：三角形中位线定理

三角形中位线定义：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
则DE平行于BC且等于BC/2
三角形中位线逆定理：

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2
区分三角形的中位线和中线：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。

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